计算科学 - 二维有限元法的表面法线 - 吾爱随笔录

考虑这个具有可变系数的 BVP：

- \nabla \cdot (a \nabla u) = f i n Ω

$-\nabla\cdot(a\nabla u) = f\ in\ \Omega$

- n \cdot (a \nabla u) = κ (u - g_{D}) - g_{N} o n \partial Ω

$-n\cdot(a\nabla u) = \kappa(u-g_D)-g_N\ on\ \partial \Omega$ 在哪里

a > 0, f, κ > 0, g_{D}, g_{N}

$a>0,f,\kappa>0,g_D,g_N$ 被赋予功能。为了获得这个问题的变分公式，乘以

f = - \nabla \cdot (a \nabla u)

$f=-\nabla\cdot(a\nabla u)$ 通过测试功能

v

$v$ 并在域上集成

Ω

$\Omega$ ：

\int_{Ω} f v d x = \int_{Ω} - \nabla \cdot (a \nabla u) v d x

$\int_{\Omega} fv\ dx = \int_{\Omega}-\nabla\cdot(a\nabla u)v\ dx$

= \int_{Ω} a \nabla u \cdot \nabla v d x - \int_{\partial Ω} n \cdot (a \nabla u) v d s

$= \int_{\Omega} a\nabla u\cdot \nabla v\ dx-\int_{\partial \Omega}n\cdot (a\nabla u)v\ ds$

= \int_{Ω} a \nabla u \cdot \nabla v d x - \int_{\partial Ω} (κ (u - g_{D}) - g_{N}) v d s

$= \int_{\Omega} a\nabla u\cdot \nabla v\ dx-\int_{\partial \Omega} (\kappa(u-g_D)-g_N)v\ ds$

Green 的 thm 用于倒数第二个等式，而对于最后的等式，我们只使用了 BC。这之后的步骤和计算不是问题。

现在考虑 BVP

- Δ u = f i n Ω

$-\Delta u=f\ in\ \Omega$

u = \sin 2 π x_{1} \cdot \sin 2 π x_{2} o n \partial Ω

$u=\sin{2\pi x_1}\cdot \sin{2\pi x_2}\ on\ \partial \Omega$

遵循与上述相同的想法，我们最终得到

\int_{Ω} f v d x = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x - \int_{\partial Ω} n \cdot \nabla u v d s

$\int_{\Omega} fv\ dx = \int_{\Omega} \nabla u\cdot \nabla v\ dx-\int_{\partial \Omega} n\cdot \nabla uv\ ds$

在这一点上，我被困住了。我该怎么办 $n$ ? 我在任何地方都找不到关于这个特定问题的任何线索。我是否应该尝试“消除” $n$ 和第一个例子一样（如果是，怎么做？），或者我应该使用 $n$ 直接在进一步计算？

我只是在寻找有关如何处理的提示 $n$ ，但似乎没有人遇到过同样的问题。