计算科学 - 勒让德多项式的Matlab符号微分 - 吾爱随笔录

计算科学 matlab 多项式特殊功能符号计算

2021-12-13 21:14:17

考虑，其中是勒让德多项式。如果要对进行符号微分，即计算，他应该能够利用众所周知的勒让德多项式这一事实。 $f(x)= \sum\limits_{n=0}^N a_n p_n (x)$ $p_n$ $f'$

f^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{N - 1} b_{n} p_{n} (x) = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} p_{n}^{'} (x)

$f'(x) = \sum\limits_{n=0}^{N-1} b_n p_n (x)= \sum\limits_{n=0}^N a_n p_n '(x)$

p_{n}^{'} (x)

$p_n'(x)$

我的问题：a_n给定一个表示系数的向量，我怎样才能在 Matlab中得到上述导数是否有内置功能？ $a_n$ $b_n$

我的第二个问题我可以象征性地计算以下系数：

f^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{N} c_{n} x^{n}

$f'(x) =\sum\limits_{n=0}^N c_n x^n$

1个回答

飞利浦在 1988 年证明了以下关系：

如果上的无限可微函数，并且它的勒让德展开式由的次导数的勒让德系数由 . $f(x)$ $[-1,+1]$ $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}P_{n}(x)$ $a_{n}^{(q)}$ $q$ $f(x)$

a_{n}^{(q)} = \frac{(2 n + 1)}{2^{q - 2} (q - 1)!} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(k + q - 2)!}{(k - 1)!} \frac{(2 n + 2 k + 2 q - 3)! (n + k)!}{(2 n + 2 k)! (n + q + k - 2)!} a_{n + 2 k + q - 2}

$a_{n}^{(q)} = \frac{(2n+1)}{2^{q-2}(q-1)!} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(k+q-2)!}{(k-1)!}\frac{(2n+2k+2q-3)!(n+k)!}{(2n+2k)!(n+q+k-2)!} a_{n+2k+q-2}$

将其简化为，发现 $q=1$

a_{n}^{(1)} = (2 n + 1) \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n + 2 k - 1}

$a_{n}^{(1)} = (2n+1) \sum_{k=1}^{\infty} a_{n+2k-1}$

请注意

您需要大量系数（理论上是无限量）来计算导数的系数。这意味着您切断系列的顺序将对准确性产生影响。处被截断，那么显然所有的都等于零，并且总和是有限的。 $M$ $a_n$ $n>M$
有不同的符号，则必须小心求和。在 IEEE 双精度算术中，您将很快丢失正确的有效数字。 $a_n$
的评估最好使用 Clenshaw-Smith 算法（参见Smith 的论文）。这比转换为单项式基并应用霍纳规则要稳定得多。 $\sum_{n=0}^{N}a_{n}^{(q)}P_{n}(x)$

参考

TN Philips，“关于无限微分函数的一般阶导数的勒让德系数”，IMA 数值分析杂志，1988 年，第 8 卷，p。455--459

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