除了 PDE 本身之外，您还必须有边界条件。例如，对于您的情况，常见的边界条件是$u(t,x)\rightarrow 0$为了$x\rightarrow \pm\infty$对于任何$t$. 我见过其他情况是这种形式的情况$x^{2n} u(t,x)\rightarrow 0$为了$x\rightarrow \pm\infty$.

我不知道可以直接求解此类方程的有限差分方法（尽管有限元方法有“无限元”公式）。但是您可以引入坐标变换，例如$(-1,1) \ni y \mapsto x \in (-\infty,\infty)$它将您的方程转换为在实线的有限子集上提出的方程。

为了避免一些复杂性，让我假设您最初的问题是在半线上提出的$x\in (0,\infty)$并且我们想在区间上将其转换为 1$y \in (0,1)$. 然后我们可以（在许多其他选项中）选择$y = 1-e^{-x}$，产生$\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial x} \frac{\partial}{\partial y} = e^{-x}\frac{\partial}{\partial y} = (1-y)\frac{\partial}{\partial y}$.

然后，您将替换所有关于$x$通过关于衍生品$y$使用这个表达式。这会产生具有空间可变系数的 PDE（取决于$y$)，您可以对其应用有限差分法。