从数值上看，总和并不容易：它表现为 所以它是线性收敛的。大多数可以预期表现良好的数值方法仅适用于交替或快速收敛的总和。有了一个线性收敛的总和，如果你能猜出余数的样子，你才能真正到达任何地方。在您的情况下，其余部分表现为或，因此它非常常规，并且首先尝试使用 Richardson、Shanks 和 Levin 方法。

$$\sum_{n\geq 2, k\geq 1} \frac{1}{n(n^2-1)} \frac{e^{-4/k}}{(k^2-n^{-2})^2},$$ $k^{-3}$$n^{-2}$

我在python的mpmath（sage的一部分）中尝试了它，我得到了 使用 levin 方法，使用以下代码：

$$\begin{array}{rr} &0.00920\ 70258\ 69569\ 42996\ 92855\ 67863\ 59226\ 74177\\ &52180\ 49145\ 07649\ 14972\ 00277\ 81544\ 60503\ 04938\\ &73843\ 97518\ 00620\ 22842\ 37461\ 13380\ 72993\ 00261\\ &71196\ 37097\ 25227\ 29413\ 59023\ 59030\ 36624\ 51643\\ &60770\ 76310\ 65123\ 95919\ 68631\ 77487\ 86050\ 33349 \end{array}$$

nsum((lambda n, k: (k-1/n)**(2*n-2)/((k+1/n)**(2*n+2)*n*(n*n-1))), [2,inf], [1,inf], method='levin', verbose=True)

编辑在 Mathematica 中，这似乎有效，但没有给出几乎一样多的数字，只有大约六个（四个正确）：

NSum[1/(n (n^2 - 1))*(k - 1/n)^(2 n - 2)/(k + 1/n)^(2 n + 2), {k, 1, \[Infinity]}, {n, 2, \[Infinity]}, Method -> "WynnEpsilon"]

我自己使用的参考资料：数字食谱书，http ://dlmf.nist.gov/3.9 （最清晰、最短的解释），方法的原始论文（参见 DLMF 链接中的参考资料）。此外，只是一般的数学考虑：加速方法对序列的渐近行为做出了很多假设，因此这些假设需要是正确的。