计算科学 - 什么时候两个向量被认为是“接近的”？ - 吾爱随笔录

什么时候两个向量被认为是“接近的”？

计算科学误差估计

2021-12-24 21:55:07

我想用数字检查某个向量关系是否像

α_{1} v_{1} + . . . + α_{k} v_{k} = c (1)

$\alpha_1v_1+...+\alpha_kv_k=c \ (1)$ 持有（其中

v_{i}, c

$v_i,c$ 是向量

100

$100$ 或更多组件）。为此，我使用最小二乘近似，为了查看误差，我评估了差异的范数

‖ α_{1} v_{1} + . . . + α_{k} v_{k} - c ‖ .

$\|\alpha_1v_1+...+\alpha_kv_k-c\|.$ 所有和都是数值计算的，因此它们会出现错误。向量的大小为分量。

v_{i}

$v_i$

c

$c$

100

$100$

我什么时候可以说误差足够小，即关系在数字上成立？ $(1)$

我问这个问题是因为我得到了和之间的误差，这看起来相当大，但如果我们从组件角度来看，平均误差很小。 $0.2$ $1$

2个回答

您想比较两个标量和的“相等性”。当然，这在浮点运算中不起作用，但人们经常做的是查看与两个单独组件的大小相比差异是否很小。换句话说，和将接近。 is true for a suitably chosen . 在这里，您将差异与您获取差异的对象的平均大小进行比较。的典型大小为10 $a=\sum_k \alpha_k v_k$ $c$ $a$ $c$

| a - c | \leq ε \frac{| a | + | c |}{2}

$|a-c| \le \varepsilon \frac{|a|+|c|}{2}$

ε

$\varepsilon$

ε

$\varepsilon$

10^{- 12}

$10^{-12}$ 如果您处理浮点数：足够小以至于它确实算小，但与的浮点舍入误差相比，它足够大，您可以在计算中承担合理数量的操作和（当然，这些操作中的每一个都会累积到这些数量的数值误差）。

10^{- 16}

$10^{-16}$

a

$a$

c

$c$

scipy.numpy里面有比较两个数组的功能allclose。看看那里的默认值。

但是，这取决于您可以在数字上称为接近的问题...除了舍入误差之外，您可能还需要考虑近似误差等。

此外，您可以采取很多规范。问题通常伴随着规范。在有限元计算中，通常采用质量矩阵加权的欧几里得范数M。然后，M适当地对误差向量的分量进行加权。

其它你可能感兴趣的问题

上一篇双曲方程有哪些好的测试问题？下一篇在 Matlab 图中自动设置限制