我不知道 Thomee 到底在想什么，但是如果您根本无法获得不连续系数和特定离散化方案的解决方案，您可以在与网格尺寸成比例的长度尺度上平滑系数$h$并获得一个可以解决的问题。然后在细化网格时使平滑距离变为零，并获得一系列数值解，这些解近似于收敛到原始问题的解的扰动问题的一系列精确解。这是一个常见的伎俩。

对于不连续系数的情况，强形式离散化非常麻烦。最好使用不需要区分解决方案的弱形式方法。此外，虽然产品$a u_x$即使对于不连续的系数也是连续的，$u_x$单独不是。因此，即使评估解的一个导数也是数值方法需要非常小心的事情。标准（稳健）方法是$H(\textrm{div})$混合有限元、模拟有限差分和原始有限体积/差分方法，可选择正交，使其等效于某些混合方法。

我从上面的注释开始我的回复，因为数值离散化必须是稳定的并保留正确的属性，以便值得尝试解决由此产生的代数系统。在继续进行之前，请确保空间离散化对于所选目的是稳健的。例如，局部保护对于任何表现出不平滑的问题都是至关重要的。还要确认您的正交尊重非平滑度。

当系数具有不连续性，但跳跃符合网格时，您可以使用在界面处具有不连续梯度的离散空间，从而无需复杂技巧即可实现精确近似。这在有限元环境中是最自然的，这部分解释了它在结构力学中的流行。

对于系数的情况$a$在亚网格尺度上是粗糙的，有许多同质化技术。对于一维尺度分离的问题，用每个元素的调和平均值替换粗糙系数的简单方法是最佳的。对于多个维度或没有分离尺度的问题，需要更复杂的技术。

在所有情况下，系数的简单平滑都会显着降低精度，并且在网格解决精细尺度结构之前，您将无法获得精确的大规模解决方案，并且该方案通常不会收敛于能量范数。