计算科学 - 平流方程与源的有限差分 - 吾爱随笔录

我正在尝试为 PDE 找到收敛的有限差分方案

\begin{aligned} u_{t} + (x - 1) u_{x} & = (x - 1) u, x \in [0, 1] \\ u (x, 0) & = 1 \\ u (1, t) & = 1. \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} u_t + (x-1) u_x &= (x-1)u, \hspace{.5cm} x \in [0,1] \\ u(x,0) &= 1 \\ u(1,t) &= 1. \\ \end{split} \end{equation}$ 我知道确切的解决方案是

u (x, t) = e^{(x - 1) (1 - e^{- t})}

$u(x,t) = e^{(x-1)(1-e^{-t})}$ ，但只是想要一些使用有限差分方案的练习。我天真地选择了冻结系数离散化的前向时间前向空间

\frac{u_{m}^{n + 1} - u_{m}^{n}}{k} + (x_{m} - 1) \frac{u_{m + 1}^{n} - u_{m}^{n}}{h} = (x_{m} - 1) u_{m}^{n}

$\begin{equation} \frac{u_m^{n+1} - u_m^n}{k} + (x_m-1)\frac{u_{m+1}^n - u_m^n}{h} = (x_m - 1) u_m^n \end{equation}$ 因为特征从右向左移动。然而，即使有

\frac{k}{h} < 1

$\frac{k}{h} < 1$ ，近似解是高度不稳定的。对于具有源项的可变系数平流，这种类型的离散化是否不足？提前致谢。