计算科学 - 通过非负系数显式/隐式的稳定性条件 - 吾爱随笔录

计算科学 pde 有限差分稳定

2021-12-21 00:05:57

为了使稳定性证明更简单，我可以考虑一个明确的方案，写成并且可以证明如果和，则显式方法是稳定的。

V (n + 1, i) = a V (n, i - 1) + b V (n, i) + c V (n, i + 1)

$V(n+1,i)=aV(n,i-1)+bV(n,i)+cV(n,i+1)$

a, b, c \geq 0

$a,b,c\ge 0$

a + b + c \leq 1

$a+b+c\le1$

对于隐式，该方案可以写成如果 , and，则该方案是稳定的（这个条件可以在史密斯关于托马斯算法的稳定性的书中找到）。

a V (n + 1, i - 1) + b V (n + 1, i) + c V (n + 1, i + 1) = V (n, i)

$aV(n+1,i-1)+bV(n+1,i)+cV(n+1,i+1)=V(n,i)$

a, c \leq 0, b \geq 0

$a,c \le 0, b\ge 0$

a + b + c > 0

$a+b+c>0$

但是，所有有限差分书籍通常都谈论矩阵稳定性或傅里叶稳定性。但是我上面概述的内容不依赖于 PDE，那么为什么我不能只检查上面的系数测试而从不了解其他稳定性方法呢？这条规则有限制吗？

1个回答

显式和隐式方法的系数的正性通常导致稳定性的充分条件这一事实众所周知，但很少详细讨论。（例如，我不知道有任何教科书详细讨论过它。）我怀疑该方法并没有受到太多关注，因为它只给出了充分的条件，而 von-Neumann 方法（傅里叶分析）通常给出了充分的和必要条件。本文比较了两种方法获得的结果：

一个简单的例子，其中正系数不会导致足够的稳定性限制是越级方法。这是一个简单的结果，即并非所有振荡都表明不稳定。

正性当然意味着局部极值不会随时间增长，这就是为什么在处理具有不连续性的流量计算的文献中相当广泛地讨论了需要正系数的原因，例如，参见

A. Jameson，可压缩流动的正方案和冲击建模，国际流体数值方法杂志，20(8-9):743–776, 1995

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