设 ,是一个开放的有界多边形/多面体集。假设我要解决以下 pde$\Omega\subset \mathbb{R}^d$$d\in \{2,3\}$

$$\begin{align*} \vec{q}+\vec{\nabla}u &=0\,&x&\in \Omega\\ \vec{\nabla} \cdot \vec{q} &= f\, \quad& x&\in \Omega\\ u&=0\,& x&\in \partial\Omega_{\mathrm{dir}}\\ \vec{q}\cdot \vec{\eta}&= 0\,& x&\in \partial\Omega_{\mathrm{neu}} \end{align*}$$

为了避免复杂化，假设 Dirichlet 边界的度量是非零的。

进一步假设存在 ,的三角剖分，使得源函数是关于的分段多项式。假设没有“悬挂节点”。来近似 pde 的解。 $\Omega$$T$$f$$T$$T$$T$

如果我选择足够丰富的多项式试验/测试空间，我可以生成 pde 的精确解吗？例如，如果只是分段常数，我可以为的跟踪/测试空间选择包含（连续）分段仿射函数的第一个 Raviart Thomas 空间吗？并为您提供适当的跟踪/测试空间生成确切的解决方案？这个结果对于或更高 ，我无法向自己证明这一点。$f$$\vec{q}$$u$$d=1$$d=2$

由于这似乎是正确的并且我无法证明它，我正在寻找一个反例，一个证明，或者至少是一个证明的草图。我很欣赏任何想法。我主要对允许非凸域的证明/想法感兴趣。