计算科学 - 2D-FEM 中参考三角形上 P1 基元的对称性 - 吾爱随笔录

我正在尝试了解有限元方法，并希望将其应用于具有三角形网格的二维方程。

我选择了参考元素是带顶点的三角形 $(0, 0), (0, 1)\text{ and }(1, 0)$ . 在这个参考元素上，我定义了三个基函数

ϕ_{1} (x, y) = (1 - x) (1 - y) ϕ_{2} (x, y) = x (1 - y) ϕ_{3} (x, y) = (1 - x) y

$\phi_1(x, y) = (1 - x)(1 - y) \quad \phi_2(x, y) = x(1 - y) \quad \phi_3(x,y) = (1 - x)y$ 他们每个人在哪里

1

$1$ 在恰好一个顶点和

0

$0$ 在其他人。现在，当我试图找到质量矩阵的元素时，我需要解决

M (i, j) = \int ϕ_{i} ϕ_{j} d x

$M(i, j) = \int \phi_i \phi_j \mathrm{d}x$ 对于一些

i, j \in 1..3

$i, j \in 1..3$ 在参考元素上。我现在遇到的问题是

M (1, 2) \neq M (2, 3)

$M(1, 2) \ne M(2, 3)$ . 那正确吗？为什么不选择参考元素，使角可以互换，例如以原点为中心的等边三角形？

在我看来，这种方式只是根据我们如何识别域三角形的角与参考元素的选择，任意选择一些元素以减少彼此之间的“交互”。