我有一个关于两个不同扰动矩阵的条件数的问题。从让开始$A$是一个 spd 矩阵，其元素定义为$a_{i,j} = \int\limits_{\Omega\subset \mathbb{R}^d} \nabla \varphi_i\cdot \nabla\varphi_j \,d\Omega$出现在有限元方法中$\varphi_i$近似空间的基函数。此外让$cond_2(A)$是条件数$A$.

1. 我的第一个问题是关于矩阵元素的数值积分以及它们如何影响条件数。我的想法是写$\tilde A = A + E$其中的元素$E$说明数值积分和精确积分之间的误差。有什么办法可以给出不等式关系$cond_2(\tilde{A})$和$cond_2(A)$?

2. 我的第二个问题是关于条件数内的限制。假设一个矩阵$E$有元素$e_{i,j} = \int\limits_{\tilde{\Omega}\subset \mathbb{R}^d} \nabla \tilde{\varphi}_i\cdot \nabla\tilde{\varphi}_j \,d\Omega$和$\tilde{\Omega}\cap\Omega = \emptyset$. 条件数如何对矩阵的限制做出反应，即它是否成立$cond_2(A + \lim_{\alpha\to 0} \alpha E) = cond_2(A)$或者这两者之间是否存在任何不平等关系？我首先尝试使用

   $$cond_2(A + \lim_{\alpha\to 0} \alpha E) \leq cond_2(A) + cond_2(\lim_{\alpha\to 0} \alpha E)$$ 但我意识到零矩阵的条件数定义为$\infty$. 因此，不平等是没有用的。