计算科学 - 一维分量欧拉 WENO 是否完全适用于冲击？ - 吾爱随笔录

计算科学有限差分

2021-11-30 03:53:51

我正在尝试对逐渐复杂的方程和系统实施有限差分 WENO 方法。目前，我在奇异标量方程（恒定平流和 Burgers）方面取得了成功，并试图推进到欧拉方程的一维系统。

我读过有两种方法可以将 WENO 应用于保护法系统：

1) 组件方式（通过将其应用于原始值（rho、rho*u、e））。他们说这种方法适用于简单的测试用例。

2）特征方面（通过通量雅可比等的特征向量进行适当分解）。据说这种方法对于更复杂的流程是必要的。

在尝试复杂的特征分解之前，我尝试实现更简单的组件化方法。到目前为止，它在具有接触不连续性的测试用例上运行良好（即只有密度变化，而压力和速度是恒定的） - 它使它们带有一些拖尾。但是，当我引入即使是微弱的冲击时，它也会在其前端附近产生越来越大的不稳定性，并且一段时间后计算就会崩溃。

它是该方法的正常行为，还是应该能够计算冲击（可能有一些振荡或大量涂抹等）？也许问题是我使用了 Lax-Friedrich 的非分裂通量函数？这是这个通量函数：

h (a, b) = \frac{1}{2} (f (a) + f (b) - α (b - a))

$h(a,b) = \frac{1}{2} \left( f(a) + f (b) - \alpha (b-a) \right)$ 在哪里

α = max | λ |

$\alpha = \text{max}|\lambda|$ 是最大特征值。

1个回答

尽管 FD 公式已被用于非线性守恒定律 [1]，但原则上，FV 公式是在不连续流动的情况下要走的路。

话虽如此，越来越不稳定的原因可能是：

时间步长不正确。尝试减少 Courant 数并检查不稳定是否仍然存在。
不正确的上风。超音速区域的特征场总是沿同一方向平流（即特征值 $u$ , $u+a$ 和 $u-a$ 有相同的符号，因为 $u > a$ ）。但是，必须正确平流亚音速流的特征场。建议对非线性方程进行特征解耦（尤其是解中的不连续性）[2]。

您可以执行的检查：

关闭 WENO 机制并执行简单的一阶重建，保持其他一切不变。如果你仍然得到振荡，那么你需要重新审视你正在使用的通量函数。尝试 Roe 或分裂求解器。如果您实施 FV 公式，您有很多 Riemann 求解器选择。
尝试通过减小 Courant 数来减小时间步长。尝试使用 Courant 编号 $< 0.3$ 对于精度阶数大于的方程组 $3$ .
尝试实现 WENO 方法的有限体积形式。与 FD [2] 中的单元中心值不同，FV 公式的重建多项式是基于单元平均值得出的。

如果这些都不起作用，您可能必须执行特征解耦。有关更多讨论和详细信息，请参阅堆栈交换上的此答案。请注意，在 FV 公式的情况下，您必须将保守变量向量线性化以计算面的雅可比行列式（基于左侧和右侧单元格平均值）。之后，找出用于解耦缺点的特征向量矩阵。病媒。在模具的其余部分。

回答您的问题：

我找不到参考，其中将具有组件重构的 FD 公式用于冲击计算。因此，我并不确切知道回答第一个问题的答案。

例如，Lax Friedrich 通量函数比 Roe 更耗散。因此，您不太可能因此而出现振荡。但是，这可以通过实施其他一些方法很容易地排除。

一切顺利！

参考：

[1] 姜 G.-S. 和 Wu, C. (1999)。理想磁流体动力学方程的高阶 WENO 有限差分格式。计算物理学杂志，150（2），561-594。

[2] 舒，CW（1997）。双曲守恒定律的基本非振荡和加权基本非振荡方案。ICASE 报告，(97 - 65)

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