计算科学 - 当参数趋于无穷时计算极限 - 吾爱随笔录 - 问答

当参数趋于无穷时计算极限

计算科学 matlab 数值分析

2021-12-04 04:03:19

我在纯数学方面有相当的背景，现在我的项目是某种算法的数值实现。我有一些数字背景，但不是那么多，所以问题很简单：

在我的算法中，我必须计算某个参数的值

h_{r} = lim_{t \to \infty} I (t, r),

$h_r = \lim_{t \to \infty} I(t,r),$ 我们已经证明存在。计算表达式

I

$I$ 在计算上相当昂贵，因为它涉及求解非线性 PDE。参数

r

$r$ 索引一组适当密集的方向（单位向量），并且必须对所有方向进行所有计算。

如何计算限额？我可以猜测几个选项，但我不知道最佳实践是什么，或者我是否缺少一些众所周知的优雅解决方案。

通过启发式或实验选择足够大的 $t$ 。除了测试整个算法是否有效之外，这似乎是一个坏主意。
递增序列 $t$ ，例如 $|I(t_j,r) - I(t_{j+1},r)|$ （或者，更好的是，相对变化）很小。
$t$ 需要多大，以使 $I$ 的误差足够小。的复杂性，这可能会变得非常困难 $I$ 。

1个回答

这有点原始，但有很好的工作机会。

图与。拟合平滑曲线并找到截距。行为的理论，这会更好。例如，错误分析可能给出如果您有两个不同的值，您可以编写两个方程并求解它们以找到未知数和。使用更多值，绘制对。它看起来像一条直线吗？或者仅当足够大时。然后将一条直线拟合到似乎位于一条上的值。 $I$ $1/t$ $I$

I (t) = I_{\infty} + \frac{C}{t^{2}} + \dots

$I(t)=I_\infty+\frac{C}{t^2}+\cdots$

t

$t$

I_{\infty}

$I_\infty$

C

$C$

I (t)

$I(t)$

t^{- 2}

$t^{-2}$

t

$t$

人眼非常擅长检测模式，例如发现线性趋势。您可以对可能是线性的图做出各种假设并选择那些是线性的。

这个技巧的更正式的版本定义了 Richardson 的延迟方法，你可以用谷歌搜索一下。祝你好运！

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