考虑以下矩形的三角剖分：
我们有两种类型的三角形：
我从左下角开始从左到右，从下到上枚举矩形（由两个三角形组成）。三角形的枚举方式如下：A 类型的每个三角形与其对应的单元格具有相同的索引，B 类型的三角形的每个索引都是其对应单元格的索引之和“细胞总数”。
例如，在上面描述的三角剖分中，左下角的单元格具有索引并且包含的类型 A 和 B 的三角形的索引分别为 1 和 17。
顶点的局部编号显示在第二个图中。从左下角开始，从左到右，从下到上，构建顶点的全局索引。例如，在上面描述的三角剖分中，左下角的顶点有索引, 它的水平邻居有索引并且它的垂直邻居有索引.
如果每个三角形都被认为是线性拉格朗日元素（在顶点处计算），则此索引是合适的。如果我想改用二次拉格朗日元素（顶点评估加上边缘中点评估），我需要如何修改索引？
我想对顶点使用以下本地编号：
我不清楚我应该如何构建附加节点的全局编号（即边缘的中点）。我不确定，但我可以想象编号的选择会以一种关键的方式影响线性方程组（例如，我读过一个增加局部顶点数的元组应该对应于一个全局元组顶点数）。
您说的是二阶三角拉格朗日有限元，所以我想您熟悉一阶的“”-您知道如何使用线性元素组装由拉普拉斯或泊松方程产生的系统。
对于生成的矩阵，我们通常使用压缩的稀疏（下三角）列格式 CSlC（有关详细信息，请参阅SPARSKIT 文档或Harwell-Boeing 稀疏矩阵集合的用户指南）。
首先我们构建矩阵的模式（向量colptr和rowind），然后我们组装我们的系统。当一个有矩阵模式时，一个也有中间节点（或肋骨）的编号！
考虑以下网格和生成的矩阵模式：
我们有
为了得到元素我们做的CSlC矩阵
for k = colptr[j], colptr[j] + 1, ..., colptr[j+1] - 1
if (i == rowind[k]) return values[k]
通常三角剖分中的任何顶点的度数约为 6，所以这个操作是.
因此，如果您想获得多个连接顶点的肋骨和, 只需使用从上面的算法。在我的图片中，连接顶点 3 和 7 的肋骨的编号为 9。
你说的是相当结构化的网格。实际上，为了处理更复杂的几何图形，我们通常将网格表示为顶点向量 + 元素向量（顶点索引的三元组）。有时存储邻居向量（相邻元素索引的三元组）也很方便。一方面，Mathematica 在其网格抽象中这样做（参见 Scope > “ElementConnectivity”）。我敢打赌，所有流行的网格生成软件工具（例如gmsh）也可以做到这一点。
显然，如果您有邻居，则很容易枚举遍历元素的 ribs。我倾向于在我的项目中使用这种方法，因为我可以接触到邻居。
更新：
但我可以想象编号的选择会以一种关键的方式影响线性方程组
实际上，不同的自由度数对应于不同的矩阵模式。但是，如果要使用迭代求解器，则根本不应该关心这一点。
相反，如果想要使用某种基于 LU 分解的稀疏直接求解器，则应该关心自由度的计算，因为它对带宽（因此，内存）有至关重要的影响：CSC 型矩阵的 LU 分解可能是密集的；Skyline 矩阵的 LU 分解保留了稀疏模式。
然而，正如@BillGreene 和@anton-menshov 提到的，有一些算法可以最小化矩阵的带宽（即重新编号自由度）。在组装/选择 DOF 计数时，您不应该关心这一点。