如果$w=(w_1,w_2,\ldots,w_l)$表示一个向量$l$变量和$f$是标量函数，那么$\nabla_w f$应该代表关于变量的梯度$w$，即它是向量函数$(\partial_{w_1} f,\partial_{w_2} f,\ldots,\partial_{w_l} f)$.

如果$l>1$然后通常$f$是一个向量函数$l$组件和一个更喜欢符号$\bf{f}$要么$\vec{f}$（我也是）。然后$\nabla_w \vec{f}$是由条目给出的雅可比行列式（矩阵）$\partial_{w_l} f_k$在哪里$f_k$是个$k$-第一个组件$\vec{f}$.

这些是考虑守恒定律系统时的主要工具，例如

$$\partial_t w + \nabla \cdot \vec{f} = 0$$ 现在在哪里$\nabla$代表关于空间变量的标准散度算子$x$， IE$w=w(x,t)=(w_1(x,t),w_2(x,t),\ldots,w_l(x,t))$. 上面的系统可以重写（如果存在衍生物）到系统 $$\partial_t w + \nabla_w \vec{f} \cdot \nabla w = 0$$ 可以看作是非线性对流方程，所以$\nabla_w \vec{f}$起着（取决于解决方案的）速度的作用。从这个意义上说，您可以考虑流入边界条件的定义。

非线性守恒定律系统是一个重要的话题，你可以从 LeVeque 关于双曲问题的 FVM 的书中学习它。

我在 INRIA 的一个小组在这篇论文中遇到了类似的表述。有关更一般性的讨论，请参阅Uni Dortmund 的本说明中的第 1.2.4 节。

$\partial \Omega_{-} = \left\{x \in \partial d\Omega | \mathbf{n}\cdot\nabla_{u}f < 0 \right\}$.

在我的理解中$\nabla_{u} f$表示梯度。这是使用的标准做法$u$为速度。

编辑：彼得 Frolkovič 的回答是准确的。纠正了我的错误解释。