假设我有一些时间相关的 PDE，它可以写成强形式

$$\frac{\partial u}{\partial t} + \mathcal{L}(u) = f$$

其中是一些微分运算符。如果我在不离散时间项的情况下编写问题的弱形式，我最终会得到标准弱形式问题，即找到使得$\mathcal{L}$$u_h \in X_h$

$$m\left(\frac{\partial u_h}{\partial t},\, v\right) + a(u_h,\,v) = f(v), \qquad \forall v \in X_h$$

在这一点上，我通常以以下方式在时间上离散化（这里使用反向欧拉）

$$m\left(\frac{u_h^{k+1} - u_h^k}{\Delta t},\, v\right) + a(u_h^{k+1 },\,v) = f(v), \qquad \forall v \in X_h$$

此时，我知道如何通过将项放在右侧、选择测试、试验空间、离散化和求解来解决问题。$m(u_h^k, v)$

但是，如果我想从第二个等式开始并构造我的代码以使用黑盒积分器呢？有这样做的标准方法吗？我知道右手边的项会随着高阶时间离散化而变得更加复杂。

编辑：

似乎答案是首先在空间上离散化，并将离散系统表示为矩阵系统。但是，如果黑盒时间积分器库不支持 DAE 系统（允许用户输入）矩阵，那么您就不走运了（这似乎是 的情况）。如果可以廉价地反转，那么黑盒积分器可以处理等效问题。或者，可以使用质量集总，但如果您对隐式时间推进方案感兴趣，这似乎很荒谬。$B\dot{U_h} + AU_h = F$$B$scipy.integrate.ode$B$$\dot{U_h} = -B^{-1}(AU_h - F)$