我正在使用一般坐标中的离散化计算围绕圆柱体的静止、不可压缩、无粘性和无旋流动。

我在由下式给出的物理域（左图）中推导出了 PDE 和适当的边界条件$G := \{(x_1,x_2 : R_1^2 \leq x_1^2 + x_2^2 \leq R_2^2, x_2 \geq 0\}$. 这个偏微分方程是，其中是扰动势。 $\Delta \phi = 0$$\phi$

然后任务要求在一般坐标中简化拉普拉斯算子。为此计算协变/逆变基向量和雅可比行列式。接下来我定义映射。$\mathbf{x}(\xi)$

但我坚持在逻辑域中推导适当的边界条件（右图）。这些必须根据协变/逆变基向量和度量张量来定义。作为提示，给出：在这个阶段不要使用特定的映射。使用域的边界形式为常数这一事实，因此边界上的单位法向量由$\xi^\alpha(\mathbf{x}) =$$\pm \mathbf{a}^{(\alpha)}/|\mathbf{a}^{(\alpha)}|$

我看不到如何使用协变/逆变基向量。我们为极坐标系的物理域 G 有了新的基础，那么它们与计算域有什么关系呢？

不变形式的边界条件：

1. 沿圆柱体（流动无粘性），其中给出的速度场和给出的总速度势函数。现在是方向上的自由流速度，而是扰动势。$0 = \mathbf{u}\cdot\mathbf{n} = -U_\infty n_1$$\mathbf{u}$$u_\alpha = \frac{\partial \Phi}{\partial x_\alpha}$$\mathbf{\Phi}$$\Phi = U_\infty x_1 + \phi$$U_\infty$$x_1$$\phi$
2. 在物理域的水平边界上，我们有，所以和。$\frac{\partial u}{\partial x_2} = 0$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_1x_2} = 0$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x_2^2} = 0$
3. 沿着域的顶部，我们有一个均匀的狄利克雷边界条件用于扰动势。对于此边界上的$\phi(\mathbf{x}) = 0$$\mathbf{x}$

我遗漏了很多细节，因为我不确定这些是否需要。