计算科学 - 振荡复向量作为时间函数的积分方法 - 吾爱随笔录

计算科学正交振荡

2021-12-02 09:36:28

我正在尝试解决以下形式的问题：

a^{(n + 1)} (t) = \int_{0}^{t} d τ e^{i H τ} D (τ) e^{- i H τ} a^{(n)} (τ)

$\mathbf{a}^{(n+1)}(t) = \int_{0}^{t}d\tau e^{i\mathbf{H}\tau} \mathbf{D}(\tau)e^{-i\mathbf{H}\tau}\mathbf{a}^{(n)}(\tau)$ 在哪里

D (τ)

$\mathbf{D}(\tau)$ 是一个振荡时变矩阵 (

D \cdot E (τ)

$\mathbf{D}\cdot E(\tau)$ ),

H

$\mathbf{H}$ 是对角矩阵，并且

a^{(n)} (t)

$\mathbf{a}^{(n)}(t)$ 是时间的向量函数。我想获得

a^{(n + 1)} (t)

$\mathbf{a}^{(n+1)}(t)$ .

D

$\mathbf{D}$ 一般来说，振荡的频率明显低于指数引起的振荡，尽管以后的迭代会改变这一点。向量的不同项的频率可能非常不同（由一个因子

10

$10$ 可能）。在以后的迭代中

a^{(n)} (t)

$\mathbf{a}^{(n)}(t)$ 也会震荡。

可能需要注意的重要事项：此步骤的第一步（ $a^{(0)}$ ) 是常数，因此第一部分的被积函数是众所周知的 $t$ .

正如你可能猜到的那样 $(n+1)$ 和 $(n)$ ，这是一个迭代过程，我都想知道 $\mathbf{a}^{(n)}(t)$ 和 $\mathbf{a}^{(n+1)}(t)$ 对于每个周期的多个均匀间隔的点 $\mathbf{D}(t)$ .

我不确定我应该怎么做。因为我想找到许多不同值的积分 $t$ ，类似黎曼和（如梯形规则或类似规则）似乎比高斯正交之类的东西更好，但是，我不确定在处理复杂的振荡函数时什么是好方法。自适应方法是一个不错的选择吗？如果是这样，找到向量自适应步长的好方法是什么？

这个向量的性质只是中等重要：向量大约有 3000 个值长，所以我宁愿不对每个向量进行不同的计算，而是更愿意一次找到它们。

1个回答

原则上这是一个沃尔泰拉积分方程，有几种方法可以求解。

我会首先区分整个表达式以获得

\begin{matrix} (1) & \partial_{t} a^{(n + 1)} (t) = e^{i H t} D (t) e^{- i H t} a^{(n)} (τ) \end{matrix}

$\tag 1 \partial_t \mathbf{a}^{(n+1)}(t) = e^{i\mathbf{H}t} \mathbf{D}(t)e^{-i\mathbf{H}t}\mathbf{a}^{(n)}(\tau)$

定义 $\mathbf b^{(i)}(t) = e^{-i\mathbf{H}t} \mathbf a^{(i)}$ ，然后

\begin{matrix} (2) & i \partial_{t} b^{(n + 1)} (t) = H (t) b^{(n)} (t) + D (t) b^{(n)} (t), b^{(n + 1)} (0) = 0 . \end{matrix}

$\tag 2 i\partial_t \mathbf{b}^{(n+1)}(t) = \mathbf{H}(t) \mathbf{b}^{(n)}(t) + \mathbf{D}(t) \mathbf{b}^{(n)}(t),\\ \mathbf{b}^{(n+1)}(0) = 0\,.$

好的，这可能会让你看起来像是回到过去，因为这可能是你来自的地方：薛定谔方程、偶极子近似中的电场、相互作用图等等——你知道这些东西。但关键是，你可以比上面的积分方程更好地求解后一个微分方程。

所以去掉上迭代索引，

\begin{matrix} (3) & i \partial_{t} b (t) = (H (t) + E (t) D) b (t) \end{matrix}

$\tag 3 i\partial_t \mathbf{b}(t) = \Big(\mathbf{H}(t) + E(t)\mathbf{D} \Big)\mathbf{b}(t)$ 首先应用一些基本的 Runge-Kutta。此后，我会研究 Crank-Nicolson、Lanczos 方案等。

编辑：好的，你想要迭代加法本身。为此，可以使用边界条件 $\mathbf b^{(0)}(t) = 1$ （戴森系列中的第一项）并从这里开始再次求解微分方程。

这里的基本思想是索引版本，Eq.(2)，是某种固定点问题（从一个或多或少不相关的初始值开始），当它希望收敛时，它也满足薛定谔方程，Eq .(3)。

我知道，这可能又不是你所期望的，但你的积分和 Eq.(2) 在数学上是等价的，后者更容易解决，所以我会使用它。

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