我想解平流方程（$v_0 \in \mathbb R$)

$$\frac{\partial f}{\partial t} + v_0 \frac{\partial f}{\partial x} = 0$$

使用二阶龙格库塔，如时间积分的中点规则和空间推导的逆风（向后有限差分）。

这是 python 中的一般 Runge-Kutta 实现

def rk2a( f, x0, t ):
    n = len( t )
    x = np.array( [ x0 ] * n )
    for i in range( n - 1 ):
        h = t[i+1] - t[i]
        k1 = h * f( x[i], t[i] ) / 2.0
        x[i+1] = x[i] + h * f( x[i] + k1, t[i] + h / 2.0 )

    return x

这是有道理的，如果我必须解决类似的问题$y'=f=x$我会知道如何通过$f$但我很困惑，因为现在我们有了$f=-v_0\frac{\partial f}{\partial x}$.

由于我想对空间导数使用迎风方案，我们有

$$\frac{\partial f}{\partial x}|_{i-1/2} = \frac{q^{n}_i - q^{n}_{i-1}}{x_i - x_{i-1}}$$

然而$n$表示$n$-th 时间步长和$i$表示$i$-th 网格点。

现在要实现这一点，我必须写下来f( x[i], t[i] )并f( x[i] + k1, t[i] + h / 2.0 )回复。提供一个通用的f。

现在虽然我认为我可以写下来f( x[i], t[i] )，但我不知道我会如何写下来f( x[i] + k1, t[i] + h / 2.0 )。

所以问题是：如何在中点规则中使用迎风方案？

编辑：我假设等距网格。