我正在努力学习搭配。例如，我使用的是数字食谱，20.7.12，但改变了基础。也就是说，我正在尝试解决

$$y'' + y' - 2y + 2 = 0, -1 \le x \le 1, y(-1) = y(1) = 0$$

它具有精确解。现在，Numerical Recipes 使用的是 Chebyshev 基础，但只是为了对我尝试使用以下基础的方法有所了解：$y(x) = 1 - \frac{e^{x} \sinh(2) + e^{-2x}\sinh(1)}{\sinh(3)}$

$$y(x) = \sum_{n=1}^{N} a_n \sin\left(\frac{n\pi}{2}(x+1)\right)$$

搭配方法变成

$$\sum_{n=1}^{N} \left[\left(2 + \frac{n^2\pi^2}{4} \right) \sin\left(\frac{n\pi}{2}(x_m+1) \right) - \frac{n\pi}{2} \cos\left(\frac{n\pi}{2}(x_m+1) \right)\right]a_n = 2$$

我们为选择个点。$N$$x_m$

我的理解是我有很多选择的自由。例如，我可以选择或或（切比雪夫节点）。唯一需要担心的是结果矩阵的收敛速度或条件。$x_m$$x_m = -1.0 + 2(m-1)/(N-1)$$x_m \sim \mathrm{unif}(-1,1)$$x_m = \cos(\frac{2m-1)\pi}{2N})$

这种信念正确吗？在下面的代码中，均匀分布的节点收敛（尽管速度很慢），但选择 Chebyshev 节点作为搭配点似乎发散了！

using LinearAlgebra
using Plots
Plots.GRBackend()

function exact(x::Float64)
    return 1 - (exp(x)*sinh(2.0) + exp(-2*x)*sinh(1.0))/sinh(3.0)
end

function approximate(x::Float64, v::Vector{Float64})
    y = 0.0
    for n in 1:length(v)
        k = n*π/2
        y += v[n]*sin(k*(x+1))
    end
    return y
end

function ode(N::Int64)
    if N < 2
      error("N >= 2 is required.")
    end
    M = Matrix{Float64}(undef, N, N)
    for m in 1:N
      #=Uncomment and the solution will diverge!=#
      #=arg = cos((2*m-1)*π/(2.0*N))=#
      arg = -1.0 + 2.0*(m-1)/(N-1)
      for n in 1:N
        M[m,n] = (2+n*n*π*π/4)*sin(n*π*(arg+1)/2) - n*π*cos(n*π*(arg+1)/2)/2
      end
    end

    c = cond(M,1)
    println("Condition number of matrix is $c")
    B = lu(M)
    b  = Vector{Float64}(undef, N)
    for n in 1:N
      b[n] = 2.0
    end
    v = B\b
    p = plot([exact, x -> approximate(x, v)], xlims=(-1.0, 1.0))
    savefig(p, "solution.png")
end

现在，如果您运行此代码，您将看到给定处 Chebyshev 节点的条件数比均匀间隔节点的条件数更差。但是，我不确定这是一个充分的解释，因为即使在条件数呈现以解决毫无价值之前，搭配也无法收敛。$N$