我正在学习如何使用 deal.II 库解决向量值问题。特别是我从官网看下面的介绍https://www.dealii.org/current/doxygen/deal.II/group__vector__valued.html#VVALalternative

在这里，他们将双线性形式写为

$$a(\mathbf{u}, \mathbf{v})=\left( \lambda \nabla\cdot {\mathbf u}, \nabla\cdot {\mathbf v} \right)_\Omega + 2 \sum_{i,j} \left( \mu \frac 12[\partial_i u_j + \partial_j u_i], \frac 12[\partial_i v_j + \partial_j v_i] \right)_\Omega$$

然后他们说

$$=\left( \lambda \nabla\cdot {\mathbf u}, \nabla\cdot {\mathbf v} \right)_\Omega + 2 \sum_{i,j} \left( \mu \varepsilon(\mathbf u), \varepsilon(\mathbf v) \right)_\Omega$$

但我不明白为什么指数加倍$i,j$在最后的平等！我认为它不应该在那里，也是因为没有依赖$i,j$.

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编辑： 所以最后一个总和是

$$\sum_{i,j} (\mu \varepsilon(\mathbf{u})_{ij}, \varepsilon(\mathbf{v})_{ij})_{\Omega}$$

我现在想知道这个双数是如何在片段中准确翻译的

for (unsigned int q_point=0; q_point<n_q_points; ++q_point)
  for (unsigned int i=0; i<dofs_per_cell; ++i)
    {
      const SymmetricTensor<2,dim> phi_i_symmgrad
        = fe_values[displacements].symmetric_gradient (i,q_point);
      const double phi_i_div
        = fe_values[displacements].divergence (i,q_point);
      for (unsigned int j=0; j<dofs_per_cell; ++j)
        {
          const SymmetricTensor<2,dim> phi_j_symmgrad
            = fe_values[displacements].symmetric_gradient (j,q_point);
          const double phi_j_div
            = fe_values[displacements].divergence (j,q_point);
          cell_matrix(i,j)
            +=  (phi_i_div * phi_j_div *
                 lambda_values[q_point]
                 +
                 2 *
                 (phi_i_symmgrad * phi_j_symmgrad) *
                 mu_values[q_point]) *
                fe_values.JxW(q_point);
        }
    }

这是我的尝试：

应用正交公式：

$$\sum_q \mu(x_q) \underbrace{\sum_{i,j} \varepsilon(\mathbf{u}(x_q))_{ij} \varepsilon(\mathbf{v}(x_q))_{ij}}_{\star}$$

现在我认识到$\star$术语正是

$$\varepsilon(\mathbf{u}) : \varepsilon(\mathbf{v})$$

因此，我怀疑这phi_i_symmgrad * phi_j_symmgrad正是两个对称梯度之间的标量积，其中 * 运算符已被适当地重载，因为这两个项都是 2 阶张量。

那是正确的吗？