Saad教授的书中关于Full Orthogonalization Method (FOM)的分析，写道：

算法 6.4 (FOM):

$$\begin{array}{l} r_0=b-Ax_0,\beta=\|r_0\|_2,v_1 = r_0/\beta\\ Define \quad H_m = \{h_{ij}\}_{i,j=1,\dots,m}, Set\quad H_m=0;\\ For \quad {j=1,\dots,m}\\ {\quad w_j = Av_j\\ \quad\quad For\quad{i=1,\dots,j}\\ \quad\quad{h_{ij}=(w_j,v_i)\\ w_j=w_j-h_{ij}v_i\\ }\\ \qquad end\\h_{j+1,j}=\|w_j\|_2\\ v_{j+1}=w_j/h_{j+1,j}\\ }\\ end \\y_m = H^{-1}_m(\beta e_1),x_m=x_0+V_my_m.\\ \end{array}$$

这是 Krylov 子空间中用于求解$Ax=b$的 FOM 方法，其中$A\in \mathbb{R}^{n\times n}$是非奇异的。考虑到计算成本和存储，它被写为

算法每个步骤的成本的粗略估计确定如下。如果Nz(A)是 A 的非零元素的数量，则 Arnoldi 过程的 m 步将需要 m 个矩阵向量乘积，代价为2m × Nz(A)。每个 Gram-Schmidt 步骤的成本大约为4 × j × n操作，这使 m 步骤的总数达到大约$2m^2n$。因此，平均而言，FOM 的一个步骤大约花费大约 2Nz(A) + 2mn. 存储，需要 m 个长度为 n 的向量来保存基础 Vm。必须使用额外的向量来保持当前解和右手边，以及矩阵向量乘积的临时向量。此外，必须保存 Hessenberg 矩阵 Hm。因此，总数大致为

$$(m + 3)n +\frac{m^2}{2}.$$ 在大多数情况下m，相对于 来说很小n，所以这个成本由第一项支配。

我想问一下，一般来说，如何估计计算成本和存储？