我正在研究 Black-Scholes 方程，但我对金融建模还很陌生。现在，我正在尝试理解 Black-Scholes PDE。我知道 Black-Scholes 方程由 初始条件 和边界条件 和定义在 ,上。

$$\begin{equation*} \frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2} + rS \frac{\partial C}{\partial S} - rC = 0 \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} C(S,T) = \max (S-K, 0) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} C(0,t) = 0 \hspace{35pt} C(S,t) \rightarrow S \text{ as } S \rightarrow \infty \end{equation*}$$ $C(S,t)$$0 < S < \infty$$0 \leq t \leq T$

这可以进一步转换并简化为此处描述的热扩散方程。

如果我们对变量 \begin{equation*} 进行以下更改 和 我们得到转换后的热方程

$$\begin{equation*} u = e^{-r\tau}C \hspace{20pt} \text{ or } \hspace{20pt} C = ue^{r\tau} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} S = e^x \hspace{25pt} \text{ and } \hspace{25pt} t = T- \tau \hspace{20pt} \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \frac{\partial u}{\partial \tau} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + (k-1)\frac{\partial u}{\partial x} - ku \end{equation*}$$

其中。下面的matlab 代码实现了这一点。我的问题是，转换后的方程的边界条件究竟是什么形式？我似乎无法理解 Matlab 代码中给出的参数（与边界条件相关）。任何相关文献将不胜感激。$k = \frac{2r}{\sigma^2}$