我正在做一些涉及求解平流方程的事情$\partial{x}/\partial{t}+\vec{u}\cdot\nabla{x}=0$在 3D 中。我将空间离散化为 3d 笛卡尔网格，并使用半拉格朗日方法求解方程。

我所说的“半拉格朗日方法”是指 Jos Stam 在他的论文“稳定流体”中提出的方法（计算机图形学界的人可能熟悉他）。该方法指出，要获得的新值$x$在当前位置，我们追溯时间并使用$x$在'追溯'的位置。它基于“特征的方法”。

想象一下，我正在平流一些具有速度场的物体，并且$x$是对象的一些属性。我更新$x$根据平流方程。

我有一个问题：如果我得到$x$回溯时在对象边界之外？我不能使用这个值来更新$x$在对象内部，因为它是未定义的。有什么方法可以解决这个问题吗？