你会让每个人对这个问题给出不同的答案，也许这没关系。以下是我最喜欢的一些：

• 泰勒定理，一个函数（足够平滑）等于它的泰勒展开加上一个余项。

• 可以将 Bramble-Hilbert 引理视为泰勒定理的一种变体，但它有不同的应用，并且有其自身的重要性。

• 关于变分问题解的存在性和唯一性的 Lax-Milgram 引理。

• 关于鞍点问题的稳定解的 Babuska-Brezzi (LBB) 条件。

• 高斯求积起作用的事实，即我们可以找到具有个点的求积规则的位置和权重，从而导致收敛。$n$$O(h^{2n-1})$

• 这个定理证明了牛顿寻找最小值（或函数的根）的方法在开始时足够接近解时收敛，并且将收敛半径与高阶导数的大小联系起来。

• Krylov 子空间的定理可用于设计线性系统的迭代求解器，首先证明了共轭梯度法的收敛性。

其中每一个都被用于许多后续研究，这些研究已经将它们概括并适应了新的情况。

由于这是一个具有相当主观答案的问题，因此我将在班格思教授的非常好的列表中添加一对。

• 伴随/对偶算子和空间定理对计算科学非常重要。我们知道 PDE 的对偶一致离散化可以获得超收敛性，这是一个很好的特性。但我认为更常用的结果是连续和离散伴随（主要是离散）允许基于输出的误差估计标准，用于网格细化和有效的梯度计算。据我所知，这些都用于大多数计算科学。
• 多重网格/多级求解器背后的定理和算法。一些原始论文来自 Brandt，在 CFD 中您可以查看 Jameson/Mavriplis 论文。迪斯金（布兰特的学生之一）也写了很多关于这个话题的文章。多重网格几乎是最好的，可以应用于线性和非线性求解器，并使以前不可能的大规模问题成为可能。
• 最后，我将在这里引入向量微积分，因为基本上我们模拟的每个 PDE 都使用向量微积分和散度定理。