与时间相关的薛定谔方程解的问题

计算科学 量子力学 数学
2021-12-02 06:28:07

我有这个 Mathematica 问题,它在一个盒子中以数值方式解决了与时间相关的薛定谔方程:

sig = 1;
bsize = 655;

s = NDSolve[{D[u[t, x], t] == I/2*D[u[t, x], x, x], 
    u[0, x] == (1/(2*Pi*sig^2))^(1/4)*Exp[-x^2/(2*sig)^2], 
    u[t, -bsize] == u[t, bsize]},
    u, {t, 0, 10}, {x, -bsize, bsize}];

wx[t_, x_] := u[t, x] /. s
px[t_, x_] := Abs[wx[t, x]]^2

Manipulate[Plot[px[t, x], {x, -10, 10}, PlotRange -> {{-10, 10}, {0, 1}}], {t,0, 10}]

的解是:t=0

在此处输入图像描述

但是,如果我将盒子大小bsize增加到bsize=656我得到这个不连贯的解决方案:

在此处输入图像描述

问题:这里发生了什么?

1个回答

首先,您不是在盒子中求解薛定谔方程,而是应用周期性边界条件。也就是说,它更像是在环上求解 TDSE。但这只是作为评论,在这里应该无关紧要。

这里发生的是你及时演化出一个高斯波包。在合适的谐波振荡器电位下,它将是稳定的并在时间演化下保持恒定。

然而,这里没有任何潜力,所以波包会散开。这是预期的行为,并且有一个众所周知的分析公式来描述演化(通常在第一门量子力学课程中教授)。请注意,如果您查看实部或虚部,您会看到更多的“波动”。只有绝对平方,保留高斯形式。

但是,这里的标准化有问题。解的积分应该保持不变,这显然不是这里的情况。