计算科学 - 泰勒展开式舍入误差 - 吾爱随笔录

泰勒展开式舍入误差

计算科学误差估计

2021-12-20 06:28:58

在第 5.7.- 数值导数的数值配方中，它引入了以下舍入误差：

f^{'} (x) \approx \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

$f^{\prime}(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

作为（使用一个“确切”数字）： $h$

\begin{matrix} (1) & e_{r} \sim ϵ_{f} ∣ f (x) / h | \end{matrix}

$\tag{1} e_{r} \sim \epsilon_{f} \mid f(x) / h|$

具有与机器精度相当的分数精度。 $\epsilon_{f} \approx \epsilon_{m}$

问题：舍入误差表达式从何而来？ $(1)$

问题：假设我们有三次泰勒展开：

f (x + h) \approx f (x) + h f^{'} (x) + \frac{1}{2} h^{2} f^{''} (x) + \frac{1}{6} h^{3} f^{'''} (x)

$f(x+h) \approx f(x)+h f^{\prime}(x)+\frac{1}{2} h^{2} f^{\prime \prime}(x)+\frac{1}{6} h^{3} f^{\prime \prime \prime}(x)$

这个泰勒展开式的舍入误差是多少？

1个回答

让，并让表示机器精度的浮点表示。回想一下和。 $g(x)=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $\bar{g}(x)$ $\mu$ $\text{fl}(f(x)) = f(x)(1+\delta)$ $|\delta| \leq \mu$

我们有其中最后一个不等式来自

| g (x) - \bar{g} (x) | = | \frac{f (x + h) - f (x) - (f (x + h) (1 + δ) - f (x) (1 + δ)}{h}) | \leq \frac{2 μ}{h}

$|g(x)- \bar{g}(x)| = |\frac{f(x+h)-f(x) - (f(x+h)(1+\delta) - f(x) (1+\delta)}{h})| \leq \frac{2 \mu}{h}$

| δ | \leq μ

$|\delta| \leq \mu$

请注意，您将观察到的错误如下：即正确结果与有限精度表示之间的差异。我们可以用一个简单的技巧来估计： $|f'(x) - \bar{g}(x)|$

| f^{'} (x) - \bar{g} (x) | = | f^{'} (x) - g (x) + g (x) - \bar{g} (x) | \leq C h + \frac{2 μ}{h}

$|f'(x) - \bar{g}(x)|= |f'(x) - g(x) + g(x) - \bar{g}(x)| \leq C h + \frac{2 \mu}{h}$ 在最后一步中，我使用了三角不等式 + FD 截断误差（其中当然取决于的二阶导数）和上面的估计。通过这种方式，您还可以计算最佳，即。因此，您会观察到，对于，舍入误差将占主导地位，并且您将继续失去准确性

C

$C$

f

$f$

h

$h$

\bar{h} = \sqrt{\frac{2 μ}{C}}

$\bar{h} = \sqrt{\frac{2 \mu}{C}}$

0 < h < \bar{h}

$0<h<\bar{h}$

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