计算科学 - SDP问题中的变量等式约束 - 吾爱随笔录 - 问答

SDP问题中的变量等式约束

计算科学约束优化半定规划

2021-12-18 06:26:35

我对 SDP 编程很陌生，因此我可能无法使用正确的搜索词来找到解决方案。

我尝试将 SDP 问题重新表述为原始形式。然而，一个侧面约束让我有些头疼。鉴于问题，在哪里 $X$ 是一个块矩阵，可以写成：

X = [\begin{matrix} A_{1} & B_{1}^{T} & 0 & 0 \\ B_{1} & C & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{2} & B_{2}^{T} \\ 0 & 0 & B_{2} & C \end{matrix}]

$X = \begin{bmatrix}A_1 & B_1^T&0&0 \\ B_1& C &0&0 \\ 0 &0& A_2 & B_2^T \\ 0&0&B_2 & C\end{bmatrix}$ 和

A_{1}, B_{1}, A_{2}, B_{2}, C

$A_1,B_1,A_2,B_2,C$ 都是矩阵。SDP问题可以表述如下：

min_{X} ⟨ W, X ⟩, X ⪰ 0

$\underset{X}{\text{min }} \langle W, X \rangle, \\ X\succeq 0$ 和

W

$W$ 是一个常数矩阵但是我想知道，我如何才能强制执行这两个

C

$C$ 中的矩阵

X

$X$ 解决后都一样吗？对于这个问题，重要的是，它像标准 SDP 问题一样被制定。

1个回答

首先，一个标准的半定程序（原始形式）将是

min_{X} ⟨ W, X ⟩, X ⪰ 0, A (X) = b

$\underset{X}{\text{min }} \langle W, X \rangle, \\ X\succeq 0,~\mathbf{A}(X) = b$

其中简单求解或无界） $\mathbf{A}(X) = b$ $X=0$

实际上，永远不会使用这种有限的形式，因此您至少可以假设您可以使用由多个锥体的直接乘积组成的和。那么你要做的就是简单地坐下来写下描述和中某些元素相同的所有等式，即定义所有线性等式。如果您绝对拒绝使用除了只能有一个圆锥的（太）标准形式之外的任何东西，那么您不仅必须创建等于中的两个块的所有等式，而且还要创建许多描述零元素的等式。 $X$ $X_1$ $X_2$ $X_1$ $X_2$ $\mathbf{A}(X_1,X_2) = b$ $X$

..在实践中，您最好为此使用建模语言并跳过所有索引和簿记头痛。

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