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使用 Runge-Kutta 方法验证 PDE 的平稳解的收敛性

计算科学 pde 龙格库塔确认

2021-12-08 06:39:19

我正在使用 Runge-Kutta 方法对非线性波 PDE 进行数值求解，并且我知道我正在寻找的解决方案在时间上是恒定的，但我不知道解决方案。验证我收敛到正确解决方案的好方法是什么？

附加信息：我知道这个解决方案是唯一稳定的解决方案

2个回答

当您将 PDE 从 $u_t = \ldots$ 你得到一个 ODE $\frac{du}{dt} = \ldots$ . PDE 达到稳定状态时 $\frac{du}{dt}$ 足够小，所以只需求解，直到 ODE 的右侧低于某个容差。

如果您从以下形式的 PDE 开始

u_{t} = F (u), u (0) = u_{0}

$u_t = F(u), \ u(0) = u_0$ 和

u

$u$ 在某个函数空间中取值，则稳态问题的解对应于

F (u) = 0.

$F(u)=0.$ 在大多数情况下，

F

$F$ 包含非线性、微分算子、边界条件等，当离散化以形成一个 ODE 系统时，您可以使用 Runge-Kutta 或其他一些积分器。

除非你做了一些非常糟糕的事情，否则你的解决方案应该收敛到稳定的稳态解决方案，但这里是你可以检查的方法。如果你只是解决 $F(u)=0$ （在离散化设置中），您通常会使用牛顿法或一些变体。但是，这并不能保证解决方案的稳定性 $u^*$ . 然而，牛顿方法有一个修改，它保证只收敛到系统的稳定解 $u_t = F(u)$ ，要么 $u_t=-F(u)$ ，取决于您在哪里阅读。

这种方法被称为伪瞬态延续（ $\Psi$ TC）。它的工作原理与另一个答案类似，因为它基本上运行时间积分器，直到解决方案更新处于某个低容差之下，但是这种方法将其与牛顿法相结合，一旦接近稳定的稳态解决方案，就会二次收敛。

以下是一些资源：

幻灯片纸

编辑：这相当于一种 Rosenbrock 积分器，用于其他答案的评论中提到的 Julia 工具中。

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