计算科学 - 非线性扩散方程的有限差分数值解 - 吾爱随笔录

我正在尝试解决以下非线性扩散方程：边界条件：初始条件：我正在尝试实现 Crank-Nicolson 方案，但我有点卡住了。这是我到目前为止所拥有的：我不确定如何评估我应该如何进行？

\frac{\partial}{\partial t} u (x, t) = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} u (x, t)^{3}

$\frac{\partial}{\partial t} u(x,t)= \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}u(x,t)^{3}$

- 1 \leq x \leq 1, t \geq 0

$-1\leq x \leq1, t \geq 0$

u (1, t) = - u (- 1, t) = 1

$u(1,t)=-u(-1,t)=1$

u (x, 0) = x

$u(x,0)=x$

\frac{u_{i}^{n + 1} - u_{i}^{n}}{Δ t} = \frac{(u^{3})_{i - 1}^{n + 1} - 2 (u^{3})_{i}^{n + 1} + (u^{3})_{i + 1}^{n + 1} + (u^{3})_{i - 1}^{n} - 2 (u^{3})_{i}^{n} + (u^{3})_{i + 1}^{n}}{2 Δ x^{2}}

$\frac{u_{i}^{n+1} - u_{i}^{n}}{\Delta t} = \frac{(u^{3})_{i-1}^{n+1} - 2(u^{3})_{i}^{n+1} + (u^{3})_{i+1}^{n+1} + (u^{3})_{i-1}^{n} - 2(u^{3})_{i}^{n} + (u^{3})_{i+1}^{n}}{2\Delta x^2}$

(u^{3})_{i}^{n + 1}

$(u^3)_i^{n+1}$

编辑：忘了提到解析解是：

u (x, \infty) = x^{\frac{1}{3}}

$u(x,\infty) = x^{\frac{1}{3}}$