计算科学 - 为什么 Godunov 的方案（对于平流方程）是扩散的？ - 吾爱随笔录

为什么 Godunov 的方案（对于平流方程）是扩散的？

计算科学 matlab pde

2021-12-08 12:51:18

我正在尝试使用一阶 Godunov 方案以数值和因此我写其中如果和否则。

m_{t} + (α m)_{x} = 0

$m_t+(\alpha m)_x=0$

m (0, \cdot) = m_{0}

$m(0,\cdot)=m_0$

m_{j}^{i + 1} = m_{j}^{i} - \frac{d t}{d x} (m_{j + 1 / 2}^{i} α_{j + 1 / 2}^{i} - m_{j - 1 / 2}^{i} α_{j - 1 / 2}^{i})

$m_j^{i+1}=m_j^i-\frac{dt}{dx}(m_{j+1/2}^i\alpha_{j+1/2}^i-m_{j-1/2}^i\alpha_{j-1/2}^i)$

m_{j + 1 / 2}^{i} = m_{j + 1}^{i}

$m_{j+1/2}^i=m_{j+1}^i$

α_{j + 1 / 2}^{i} < 0

$\alpha_{j+1/2}^i<0$

m_{j}^{i}

$m_j^i$

这是一个到处都有的 Matlab 代码： $\alpha=1/2$

%% parameters
N=99; M=99; 

%Allocate memory
x=linspace(0,1,M+1); 
mk=zeros(N+1,M+1); a_ph=ones(N,M)*0.5; 

%% Set initial conditions
sigma=0.08;
mk(1,:)=1/sqrt(2*pi*sigma^2)*exp(-(x-0.5).^2/(2*sigma^2));

q=dt/h;

for i=1:N
    ai=ak_ph(i,2:M); aim=a_ph(i,1:M-1); %local var
    B=diag([0,ai.*(ai>=0),0]) + diag([0,ai.*(ai<0)],1) ...
       - diag([0,aim.*(aim<0),0]) - diag([aim.*(aim>=0),0],-1);
    mk(i+1,:)=(eye(M+1)-q*B)*mk(i,:)';
end

[X1,X2]=meshgrid(x1,x2);
surf(X1,X2,mk','FaceColor','interp','EdgeColor','none')

当我计算解决方案时，这就是我得到的：

我期望波以均匀的速度传播，但同时振幅变小，这很奇怪。波峰处也有涟漪。有人有建议吗？

1个回答

Godunov 方案是一个棘手的方案，它根据波的传播方向选择模板。由于方程的双曲线特性，我们知道在平流问题中，如果波速为正，信息应该从左到右传播，反之，如果波速为负。Godunov 的方案用您在表达式中编写的数学表达式描述了这个技巧，例如 " if和否则"。如果符号颠倒，将导致非物理振荡！ $m_{j+1/2}^i=m_{j+1}^i$ $\alpha_{j+1/2}^i<0$ $m_j^i$

为什么这个方案是扩散的以及如何摆脱它。

为简单起见，我假设波速 =1；那么这个问题的精确解，可以写成 $\alpha$

m_{i}^{n + 1} = m_{i - 1}^{n}

$m^{n+1}_i=m^n_{i-1}$

对于正，有限差分方程可以写为或这里 CFL= Courant–Friedrichs–Lewy数 = 如果我们做Von-Newman对该问题的稳定性分析，它将限制我们的数量小于 1。 $\alpha$

m_{i}^{n + 1} = m_{i}^{n} - C F L * (m_{i}^{n} - m_{i - 1}^{n})

$m^{n+1}_i=m^n_i-CFL*(m^n_i-m^n_{i-1})$

m_{I}^{n + 1} = C F L * m_{i - 1}^{n} + m_{i}^{n} (1 - C F L)

$m^{n+1}_I=CFL*m^n_{i-1}+m^n_i(1-CFL)$

α \frac{δ t}{δ x}

$\alpha \frac{\delta t}{\delta x}$

C F L

$CFL$

我们的离散结果仍然与精确结果不匹配。让 = 1，然后结果将与精确结果匹配。第二项称为数值粘度，即扩散结果的项。您会注意到该术语随着数量的减少而增加。这意味着人工粘度正在增加，会降低信号幅度（您已经在代码中观察到了这一点）。 $CFL$ $m^n_i(1-CFL)$ $CFL$

请尝试更改编号并分析您的结果，您将清楚地理解它。如果您想查看网格间距的效果，那么您应该尝试一些更高阶的TVD方案或具有不同初始条件的ENO 。 $CFL$

请注意，我在这里讨论的分析仅对前向欧拉时间离散化有效，可能对其他时间离散化无效。为此，我们应该为该方案绘制相速度图和数值扩散系数图。根据经验，我们可以说奇数阶方案是扩散的，偶数阶方案是分散的。在大多数好的数值方案中，这种扩散和分散可以通过改变CFL或单元雷诺数和网格大小来控制。

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