计算科学 - 非线性 PDE 上的 FDM - 吾爱随笔录

计算科学有限元有限差分非线性方程纳维斯托克斯曲柄尼科尔森

2021-12-07 15:10:24

我正在使用不稳定版本的 2D Navier Stokes PDE - 该方程是类型的线性方程。 $\frac{∂u}{∂t} = F(u,t)$

为了用 FDM（有限差分法）进行时间离散化，用 theta 方法，这个方程变成

\frac{u^{n + 1} - u^{n}}{Δ t} = θ F (u^{n + 1}, t^{n + 1}) + (θ - 1) F (u^{n}, t^{n})

$\frac{u^{n+1}-u^{n}}{Δt} = θF(u^{n+1},t^{n+1}) + (θ-1)F(u^{n},t^{n})$

现在，通过使用 SUPG（Streamline Upwind Petrov Galerkin）稳定，这个 PDE 是一个二阶非线性方程。

问题：在这种情况下，theta 方法看起来如何？

1个回答

它成为一个寻根问题。求使得 $u^{n+1}$

u^{n + 1} + Δ t θ F (u^{n + 1}, t^{n + 1}) = u^{n} + Δ t (θ - 1) F (u^{n}, t^{n}) .

$u^{n+1} + \Delta t \theta F(u^{n+1},t^{n+1}) = u^n + \Delta t (\theta - 1) F(u^{n},t^{n}).$

现在，您可以乘以一个测试函数，形成您的三线性形式以获得弱问题；在适当的空间中找到使得 $w(\cdot,\cdot,\cdot)$ $u^{n+1}$ $V$

w (u^{n + 1}, u^{n + 1}, v) = (u^{n} + Δ t (θ - 1) F (u^{n}, t^{n}), v)

$w(u^{n+1},u^{n+1},v) = (u^n + \Delta t (\theta - 1) F(u^{n},t^{n}),v)$

对于所有。只需添加 SUPG term即可得到最终问题；在适当的空间中找到使得 $v\in V$ $s(u^{n+1},v)$ $u^{n+1}$ $V$

w (u^{n + 1}, u^{n + 1}, v) + s (u^{n + 1}, v) = (u^{n} + Δ t (θ - 1) F (u^{n}, t^{n}), v)

$w(u^{n+1},u^{n+1},v) + s(u^{n+1},v) = (u^n + \Delta t (\theta - 1) F(u^{n},t^{n}),v)$

对于所有。您缺少压力未知数，我不知道这是否是故意的，并且您正在使用可压缩的 Navier-Stokes 方程，或者您犯了一个错误，但无论哪种方式，您都可以通过查看文献找到合适的 SUPG 术语。 $v\in V$

由于您正在解决非线性求根问题，因此您必须以某种方式对其进行线性化。两种流行的方法是牛顿线性化和皮卡线性化。

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