计算科学 - 迁移率不恒定时如何求解傅里叶空间中的扩散方程 - 吾爱随笔录

计算科学傅里叶变换

2021-12-28 16:52:13

我想解决傅里叶空间中的非经典扩散方程。方程为其中为其中 M 为迁移率。它取决于 c 和是现在我正在尝试解决上述方程现在如何进行傅里叶变换以及它的实部和虚部是什么。

\partial c / \partial t = - \nabla . J

$∂c/∂t=-∇.J$

J

$J$

J = - M . \nabla μ

$J= -M.∇μ$

μ

$\mu$

μ = g (c) - \nabla^{2} c

$μ= g(c) - \nabla^2c$

\partial c / \partial t = - \nabla . (- M . \nabla μ)

$∂c/∂t= -∇.(-M.∇μ)$

= \nabla . [M . (\nabla (g (c) - \nabla^{2} c))]

$=∇.[M.(∇(g(c)-∇^2 c))]$

2个回答

方程中存在非线性并且仍想使用基于变换的方法是很正常的。通常这样做的方法是反向变换以计算非线性部分，即如果方程在相空间中求解，则将计算为。本文在第 4 节中对此进行了展示，并显示了如下代码 $g(c)$ $\mathcal{F}[g(\mathcal{F}^{-1}[c])]$

g.*fft(real(ifft(a)).^2);

您还可以使用ApproxFun.jl之类的东西来计算函数空间中非线性算子的近似值。

这是一个标准问题；一般来说，你不能纯粹在傅立叶空间中解决它（即问题的表示不是傅立叶空间基础中的“对角线”）。但是，如果您想获得数值解，可以使用伪光谱方法。一篇非常相关的论文，它应该给你足够的想法来实现这样的东西，是：

“来自可变迁移率 Cahn-Hilliard 方程的粗化动力学：半隐式傅里叶光谱法的应用”Zhu 等人。物理。Rev. E 1999 https://doi.org/10.1103/PhysRevE.60.3564 （网上也有 PDF 副本）。

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