计算科学 - 虚功原理——变形相关载荷需要额外的术语吗？ - 吾爱随笔录

我正在研究非线性弹性问题，外力（载荷）取决于位移。继 Klaus-Jürgen Bathe 的书《Finite Element Procedures》之后，虚拟功为其中规定符号表示考虑量的时间，是体积，是柯西应力，是虚拟位移的应变张量，而右侧的外部工作项是

\int_{^{t + Δ t} V}^{t + Δ t} τ_{i j} δ_{t + Δ t} e_{i j} d^{t + Δ t} V =^{t + Δ t} R

$\begin{equation} \int_{{}^{t+\Delta t}V}{}^{t+\Delta t}\tau_{ij}\delta{}_{t+\Delta t}e_{ij}d{}^{t+\Delta t}V={}^{t+\Delta t}\mathscr{R} \end{equation}$

V

$V$

τ

$\boldsymbol{\tau}$

δ e

$\delta\boldsymbol{e}$

δ u

$\delta\boldsymbol{u}$

^{t + Δ t} R = \int_{^{t + Δ t} V}^{t + Δ t} f_{i}^{B} δ u_{i} d^{t + Δ t} V + \int_{^{t + Δ t} S_{f}}^{t + Δ t} f_{i}^{S} δ u_{i}^{S} d^{t + Δ t} S

$\begin{equation} {}^{t+\Delta t}\mathscr{R}=\int_{{}^{t+\Delta t}V}{}^{t+\Delta t}f_i^B\delta u_id{}^{t+\Delta t}V+\int_{{}^{t+\Delta t}S_f}{}^{t+\Delta t}f_i^S\delta u_i^Sd{}^{t+\Delta t}S \end{equation}$

其中 $\boldsymbol{f}^B$ 是外部施加的体力， $\boldsymbol{f}^S$ 是外部施加的表面牵引力， $S_f$ 是施加牵引力的表面，而 $\delta\boldsymbol{u}^S$ 是在表面上评估的虚拟位移。我的问题没有表面牵引力，因此可以省略右侧的第二项。

在本章后面，Bathe 考虑了与变形有关的载荷，例如方程（6.83）和（6.84），他认为外部功可以通过对最近计算的体积和表面积进行积分来近似。

我的问题与外部工作方程的推导有关。具体来说，如果体力取决于位移，为什么虚拟工作中没有看起来像 ? $\boldsymbol{f}^B$ $\boldsymbol{u}$ $\boldsymbol{u}\delta{\boldsymbol{f}^B}$