计算科学 - 如何证明插值的稳定性？ - 吾爱随笔录

来自这本书（Vidar Thomee，Galerkinfinite element methods for parabolic questions），有（见引理 13.3）

\begin{aligned} ‖ \nabla I_{h} u ‖_{L_{\infty}} \leq C ‖ \nabla u ‖_{L_{\infty}}, (1) . \end{aligned}

$\begin{align}\label{eq} \|\nabla I_h u\|_{L_{\infty}}\leq C\|\nabla u\|_{L_{\infty}},\quad\quad (1). \end{align}$ 在哪里

I_{h}

$I_h$ 是线性插值算子，即

\begin{aligned} I_{h} : H^{2} (Ω) \to S_{h}, a n d S_{h} = {v_{h} \in C (\bar{Ω}), v_{h} |_{K} \in s p a n 1, x, y} \end{aligned}

$\begin{align} I_h: H^2(\Omega)\to S_h, ~~and ~~S_h=\{v_h\in C(\bar{\Omega}),~v_h|_K\in span{1,x,y}\} \end{align}$ 和

\begin{aligned} I_{h} v (a_{i}) = v (a_{i}), \end{aligned}

$\begin{align} I_hv(a_i)=v(a_i), \end{align}$

a_{i}

$a_i$

(i = 1, 2, 3)

$(i=1,2,3)$ 是一个元素的三个顶点

K

$K$ .

如何证明这个结果（1）和这个结果（1）可以推广到双线性拉格朗日插值算子？