计算科学 - 基于Karhnunen的高斯随机场生成算法--Loeve展开 - 吾爱随笔录

我很难理解如何从 Karhunen 生成高斯随机场——Loeve 展开。

准确地说，我需要使用协方差函数生成一个零均值场。我们从等式中找到的特征分解： $C(x, y)$ $C(x, y)$

\int_{0}^{1} C (x, y) e (y) d y = λ e (x)

$\int_0^1 C(x, y)\, e(y)\, \mathrm dy = \lambda \,e(x)$

我用以下方式离散上述方程。对于网格和点和网格大小，我使用中点法获得 $0=x_0 < \dots x_I=1$ $I+1$ $1/I$

\frac{1}{I} \sum_{j = 0}^{I} C (x_{i + 1 / 2}, y_{j + 1 / 2}) e (y_{j + 1 / 2}) = λ e (x_{j + 1 / 2})

$\frac1I \sum_{j=0}^I C(x_{i+1/2}, y_{j+1/2}) \, e(y_{j+1/2}) = \lambda \, e(x_{j+1/2})$ 可以紧凑地表示为矩阵的矩阵特征分解问题： ,，。求解这个问题，我们得到个特征值和特征向量，然后近似随机场为其中是标准的正态高斯变量。

\frac{1}{I} C

$\frac1I C$

\frac{1}{I} C e = λ e

$\frac1I C e = \lambda e$

C \in R^{I \times I}

$C \in \mathbb R^{I\times I}$

e \in R^{I}

$e \in \mathbb R^I$

λ \in R

$\lambda \in \mathbb R$

I

$I$

κ (x, ω) \approx \sum_{k = 1}^{N} \sqrt{(} λ_{k}) y_{k} (ω) e_{k}

$\kappa(x, \omega) \approx \sum_{k=1}^N \sqrt(\lambda_k) y_k(\omega) e_k$

y_{k} (ω)

$y_k(\omega)$

我遇到的问题是生成的随机场对网格大小敏感，我不明白问题出在哪里以及如何解决它。 $I$