使用 FEM，我想近似拉普拉斯算子

$$u = \nabla \cdot \nabla h \, ,$$

在哪里$h(x,y)$是同一网格上的 FEM 近似标量场，即分段可微。

我正在使用MOOSE来解决上述方程的以下（希望是正确的！）弱公式：

$$\int_\Omega uw_i \, \text{d}\Omega = -\int_\Omega \nabla h \cdot \nabla w_i \, \text{d}\Omega + \int_\Gamma \nabla h \cdot \vec{n}w_i \, \text{d}\Gamma \,,$$

在哪里$w_i$是第 i 个测试函数，并且$\vec{n}$是边界上的法向量$\Gamma$计算域的$\Omega$. 我没有在上使用任何边界条件。$u$

我为这个弱公式获得的 FEM 解决方案在边界处不准确（见下文）。我已经通过在的二维矩形域上和 的二次拉格朗日形状函数求解来对此进行了测试。（使用线性形状函数也是不准确的，但使用二次形状函数更容易发现）。$h=\text{sin}(x)$$-2\pi \le x \le 2\pi$$h$$u$

使用这种方法是否可以在边界处获得准确的我是否缺少边界条件/贡献？$u$

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背景：

我正在处理 2D FEM 中 Navier-Stokes 方程的薄膜近似，其中薄膜高度由因变量建模。为了包括表面张力作为对压力梯度的贡献，我想找到我用二阶导数近似$h(x,y)$$u(x,y)$

$u \approx \nabla \cdot \nabla h$。

我的想法是将曲率作为变量引入，通过有限元法求解上述方程，并将耦合到动量方程中。$u$$u$