我对整合简单方程很感兴趣

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla \phi = 0$$ 在流入边界处具有狄利克雷边界条件（$\mathbf{u} \cdot \mathbf{n} < 0$）。域是一个简单的单位平方。我假装使用 SUPG，我想使用制造解决方案的方法来验证该方法。我想出了一个简单的解决方案

$$\phi = \begin{cases} cos(5x - t) ~ \text{for} ~ y > 0.5 \\ 0 ~ \text{else} \end{cases}$$

平流场$\mathbf{u} = (1.0/5.0, 0)$. 这使得方程的源项等于零，我适当地调整了 Dirichlet BC

仅使用拉格朗日元素离散该方程，不添加任何稳定方法，并与 Crank-Nicholson 及时积分会产生没有振荡的良好解，这是我期望在具有不连续函数的双曲方程上使用拉格朗日元素时所期望的。为什么会这样？是否有其他制造的解决方案会真正触发振荡？