计算科学 - Gauss-Seidel 方法收敛 - 吾爱随笔录

我目前正在编写代码以找到满足二维泊松方程的平衡函数。为了做到这一点，我使用有限差分方法，我想要满足的离散方程是：

\frac{T_{j, i + 1} + T_{j, i - 1} + T_{j + 1, i} + T_{j - 1, i} - 4 T_{j, i}}{h^{2}} = q_{j, i},

$\frac{T_{j, i+1} + T_{j, i-1} + T_{j+1, i} + T_{j-1, i} - 4T_{j, i}}{h^2} = q_{j,i},$ 在哪里

T_{j, i}

$T_{j,i}$ 是矩形网格上的温度。为了找到结果数组

\vec{T}

$\vec{T}$ 满足我把它写成矩阵方程的方程：

(\begin{matrix} - 4 & 1 \\ 1 & - 4 & 1 \\ ⋱ & ⋱ & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & 1 \\ 1 & - 4 \end{matrix}) (\begin{matrix} T_{1} \\ T_{2} \\ ⋮ \\ T_{N - 1} \\ T_{N} \end{matrix}) = (\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ ⋮ \\ q_{N - 1} \\ q_{N} \end{matrix}),

$\begin{pmatrix} -4 & 1 & & & \\ 1&-4&1&\\&\ddots&\ddots&\ddots& \\ & &\ddots &\ddots& 1\\ & & & 1 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}T_1\\T_2\\\vdots \\T_{N-1} \\T_{N} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}q_1\\q_2\\\vdots \\q_{N-1} \\q_{N} \\ \end{pmatrix},$ 数组在哪里

\vec{q}

$\vec{q}$ 是一个常数数组。

我使用 Gauss-Seidel 方法迭代地求解这个方程，但是如果我永远运行它并查看平均值 $T$ 每次迭代后，它永远不会收敛到零，即如果我永远运行迭代，平均值 $T \rightarrow \infty$ . 迭代之间平均温度增加的步长最终变得恒定，但永远不会为零，如果不是通过平均温度变化的阈值，我如何建立这种方法的收敛性？

这是否意味着我的矩阵不收敛？我相当肯定我使用的矩阵应该是收敛的，因为它被许多可靠的来源广泛声称。