首先，为了清楚起见，一些符号。我们正在谈论解决$u_{xx}=f(x)$. 所以$u$是解决方案和$f$是右手边。

是什么让您认为您的解决方案是正确的或不正确的？
要检查您的结果，只需计算解决方案的两个导数（使用有限差分或 FFT，任一个）并与$f$. 在你的例子中，$f$总是积极的，所以解决方案应该到处都是凹的。在这种情况下，它们与您的任何一个解决方案都不匹配。现在你需要弄清楚为什么。如果要比较两个解决方案，还应该使用一致的边界条件。您正在使用边界条件$u(1)=u(1000)=0$对于 SOR 解，但谱 (FFT) 解意味着周期性边界条件。

SOR 解显然在几个区间上是凹的，因为它没有收敛。这个问题的收敛速度非常慢，您可能需要几十万次 SOR 迭代，而不仅仅是 100 次。考虑到在 SOR 中，每次迭代时信息只能向左移动 1 个网格点，而您的域约为 1000 个点。显然 100 次迭代是不够的。

FFT 解意味着平滑、周期性的边界条件，但函数不可能是平滑的、周期性的并且总是向上凹的。由于您的右手边不是严格周期性的，因此您可能在边界附近也有一些小问题。我相信您的 FFT 方法是正确的（尽管您应该使用ifft(...,'symmetric')而不是real()确保真正的结果），但是问题不成立。您得到的解决方案不是预期的解决方案，而是错误分布在整个域中的解决方案。这就是为什么解在预计接近线性的地方是凹的。事实上，二阶导数的误差在整个域中是一致的，并且是一个常数差$\int_1^{1000}f(x)dx/1000\approx0.0886$在您的解决方案的二阶导数中。这种转变（平均$f$) 在您设置时会丢失，slice(1)=0;并反映了以下事实：$u_{xx}$必须为零才能获得平滑的周期性解。换句话说，为您添加任何常量值$f$对谱法中的解没有影响，因为该方法强制执行平滑周期性，这意味着导数的均值为零$u$.

作为参考，可以使用具有以下代码的直接求解器找到解决方案（具有二阶中心有限差分和零边界条件）：

% Generate sparse matrix for the linear system:
i = [2:999, 2:999, 2:999, 1, 1000];
j = [1:998, 2:999, 3:1000, 1, 1000]; 
s = [ones(1,998), -2*ones(1,998), ones(1,998), 1, 1];
M = sparse(i,j,s);

% Generate right hand side:
x = (1:1000)';
rhs = [0; exp(-(x(2:999)-600).^2/50^2); 0];

% Solve:
y = M\rhs;

% Plot:
figure, plot(x,y)

应该是这样的：

请注意，除了在区间 [500, 700] 中，解近似线性，其中$f$具有最大值，所以$u$明显是凹起来的。