很高兴您在教育路径的早期阶段就对信号处理感兴趣。

到达那里的最佳途径是阅读有关该主题的一些介绍性书籍。有很多好的免费在线资源可以帮助您入门。[尊敬的编辑请注意：好的入门书籍可能是一个非常好的“粘性”主题]。我有时用

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您需要掌握的最重要的数学概念之一是“复杂”数字”。这显然是用词不当，因为它实际上并没有那么复杂，并且显然使几乎所有工程数学都变得更加简单。另一个与数学相关的免费资源是http://www.khanacademy.org，在这种情况下特别是 http://www.khanacademy.org/video/complex-numbers--part-1?topic=core-algebra

回到你的第一个问题：傅里叶变换实际上有四种不同的风格：傅里叶级数（最有可能出现在高中）、傅里叶变换、离散傅里叶变换和离散傅里叶级数。它们都使用正弦和余弦的组合（或复指数，本质上是相同的）。你将需要两者。

假设您计算输入正弦波的正弦和余弦傅立叶系数。（在某些条件下）你会发现除了一个余弦和一个正弦系数之外，所有傅里叶系数都为零。但是，根据输入正弦波的相位，这两个数字会四处移动。您可能会得到 [0.707 0.707]，或 [1 0]，或 [0 -1]，或 [-0.866 0.5] 等。您将看到这两个数字的平方和始终为 1，但实际值取决于输入正弦波的相位。

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INFINITY 项目：将基于信号处理的工程教育扩展到高中课堂

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DTFT离散时间傅里叶变换以离散的无限信号为输入，其频域输出是连续的，周期为2*pi。谈到它的使用，根据我的经验，DFT（离散傅里叶变换）是用于实际目的的一种。在某些条件下，很容易证明有限非周期信号的 DFT 只不过是 DTFT 的等间隔样本。一般来说，如果我们在时间（或空间）域中对序列进行零填充，我们会得到越来越多的 DTFT 样本。

底线是 DFT 非常有用，DFT 可以看作是等间距的 DTFT 样本，为了获得更多的 DTFT 样本，对信号进行零填充会有所帮助。

首先，它有助于整理术语：

时域中的函数称为信号。
频域中的函数称为频谱。

正如 Hilmar 所说，“傅里叶”有四种不同的风格，将信号转换为频谱。傅立叶级数是真正了解频域的最佳起点。基本前提是：任何周期信号都可以表示为正弦和余弦的无限和。在这个等式中，s(x) 是一个信号：

$$a_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\cos{nx}}\mkern3mudx$$ $$b_n=\frac{1}\pi\int^Ts(x){\sin{nx}}\mkern3mudx$$ $$s_f(x)=\frac{a_n}2+\sum_{n=1}^\infty{a_n\cos(nx)+b_nsin(nx)}$$ $$s_f(x)=s(x)$$

在这个方程中，a _n和 b _n分别是离散谱的实部和虚部。因此，如您所见，余弦的傅立叶变换将是实数，而对于正弦，它将是虚数。积分上的T表示我们正在对信号的整个周期进行积分。这主要用于所谓的谐波分析，我主要在分析具有非正弦信号（方波、三角波等）的模拟电路时使用它。但是如果信号不是周期性的呢？这不起作用，我们必须求助于傅立叶变换。

傅里叶变换将连续信号转换为连续频谱。与傅里叶级数不同，傅里叶变换允许将非周期函数转换为频谱。非周期函数总是产生连续谱。

离散时间傅里叶变换实现了与傅里叶变换相同的结果，但作用于离散（数字）信号而不是连续（模拟）信号。DTFT 可以产生连续频谱，因为和以前一样，非周期性信号总是会产生连续频谱——即使信号本身不是连续的。信号中仍将存在无限数量的频率，即使它是离散的。

因此，要回答您的问题，DTFT 可以说是最有用的一种，因为它对数字信号进行操作，因此允许我们设计数字滤波器。数字滤波器远比模拟的更有效。它们更便宜，更可靠，更容易设计。DTFT 用于多种应用。在我脑海中浮现：合成器、声卡、录音设备、语音和语音识别程序、生物医学设备等等。纯粹形式的 DTFT 主要用于分析，但采用离散信号并产生离散频谱的 DFT 被编程到上述大多数应用程序中，并且是计算机科学中信号处理的一个组成部分。DFT 最常见的实现是快速傅里叶变换。这是一个简单的递归算法，可以在这里找到。我希望这有帮助！如果您有任何问题，请随时发表评论。