[添加了关于 Schwartz 的分配产品不可能定理的参考]

连续的 Dirac delta $\delta$不被认为是一个真正的函数或信号，而是一个分布。从其维基百科页面：

delta 函数也可以定义为与上述一维情况完全相同的分布。 [25] 然而，尽管在工程环境中广泛使用，（2）应该小心操作，因为分布的乘积只能在 非常狭窄的情况下定义。

它可以这样定义，对于任何满足某些重要性质：$f$$a\in \mathbb{R}$

$$\int f(t)\delta(t-a)dt=f(a).$$

不满足这些重要属性，因此无法直接将替换为并获得有意义的结果。据了解，两个狄拉克分布的乘积并没有很好的定义，除非有人谈论维版本，或者物理中使用的所谓的“形式”操作，或者更复杂的数学。Nicholas Wheeler 提供了Dirac delta 函数恒等式的简化生成的简短说明。如果有人想更深入地挖掘，我建议使用Ta Ngoc Tri，2005 年的 The Colombeau theory of generalized functions ：$\delta$$f$$\delta$$n$

在引入他自己的理论后不久，L. Schwartz 发表了一篇论文，其中他展示了关于两个任意分布的乘积的不可能结果（参见 [Sch54]）。

一个结果是 施瓦茨不可能结果。它（不知何故）说，如果一个人想要包含连续可微函数的导数，同时保持莱布尼茨的推导规则，那么一个人得到。$\delta^2(|x|)=0$

但是，从非正式的角度来看，有时用于 DSP（和物理学），据我所知，这个“产品”既不是能量也不是功率。但从逻辑的角度来看，如果它不存在，可能会影响这个“产品”的很多属性......

一些相关的帖子：

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• 狄拉克三角函数的平方根是多少？
• 具有狄拉克 delta 函数的产品和组合物, CK Raju, Journal of Physics A: Mathematical and General, Volume 15, Number 2

$\delta(x)$对于任何特定的根本不存在。正如 Laurent Duval 所说，狄拉克不是一个函数，而是整个映射 是一个函数，将函数映射到在某个特定点评估的函数的值。可以说，用专门的函数来反映这一点是有意义的符号，如 写成是 有意义的原因函数是任何$x$$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$

$$\backslash f \mapsto f(a) \equiv ``\int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\: f(t) \cdot \delta(t-a)"$$ $$\int\!\!\!\!\delta_a\mathrm{d}t\: f(t).$$ $\delta$$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$平方可积函数 以类似的方式产生一个泛函，即 这实际上只是和标量积；函数空间是一个希尔伯特空间Dirac-delta 表示法的好处是它允许您编写此类实函数泛函和 Dirac 泛函的叠加，例如高通脉冲响应 $g$ $$\gamma : L^2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}, \quad \gamma(f) = \int_\mathbb{R}\!\!\mathrm{d}t\:f(t)\cdot g(t).$$ $L^2$$f$$g$$L^2$ $$\delta(t) - \sqrt{\frac{\omega_0}{2\pi}}\cdot\exp(-t^2\cdot\tfrac{\omega_0^2}2).$$ 这是一个您在实践中永远无法实际实现的功能，只是近似的，但它捕获了高通滤波器的概念，它并不真正关心脉冲响应本身，而是通过将其与实际实际折叠的结果 -世界信号，正是折叠提供了定义含义的积分。）$\delta$

所以，因为不是一个函数，所以没有理由相信写成有任何意义，因为在该表达式中，delta 不会恰好在其 variable 上运行的积分下出现一次。即使您确实围绕它编写了一个积分，它也总是有两个具有相同参数的增量，并且没有定义。$\delta$$|\delta(t)|^2$

总结：你说得对，狄拉克不是信号，既不是力量也不是能量。

没错，狄拉克增量脉冲的平方是未定义的，因此对于包含狄拉克脉冲的信号，不能以通常的方式定义能量和功率。

然而，类似于离散时间信号，通常以下列方式定义由狄拉克脉冲组成的信号的能量和功率。如果信号由下式给出$x(t)$

$$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n\delta(t-t_n)\tag{1}$$

那么它的能量可以定义为

$$E_x=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|a_n|^2\tag{2}$$

它的力量可以定义为

$$P_x=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\sum_{n:\;|t_n|<T}|a_n|^2\tag{3}$$

使用定义和，由狄拉克脉冲组成的信号可以是能量信号 ( )，也可以是功率信号 ( , )，或者两者都不是两个（和都不存在）。$(2)$$(3)$$E_x<\infty$$E_x\rightarrow\infty$$P_x<\infty$$(2)$$(3)$

你在这里得到了很好的答案，但我试图用一种简单的方式来解释它：脉冲是任何完全为零的信号，除了任意形状的短信号。例如，对微波发射器的脉冲可能必须在皮秒范围内，因为电子设备的响应时间为纳秒。相比之下，多年喷发的火山可能是对需要数千年的地质变化的完美推动。数学家不喜欢受任何特定系统的限制，通常使用术语脉冲来表示足够短的信号，可以作为任何系统的脉冲！那是一个无限窄的信号，数学家再次将脉冲定义为：1. 无限短的信号 2. 脉冲出现在时间 0 和 3. 脉冲的面积必须为 1 [作者 Steven W. Smith]