信息处理 - 如果我们改变傅里叶变换中积分的极限会发生什么？ - 吾爱随笔录

信息处理傅里叶变换

2021-12-31 23:29:25

根据傅里叶变换的定义

X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-j\omega t} dt$

现在变换的答案会发生什么，例如 $x(t)= \cos(\omega_0 t)$ 如果限制是 $0$ 到 $A$ 代替 $-\infty$ 到 $\infty$ ?

为了 $x(t)=\cos(\omega_0 t)$ 其傅立叶变换由下式给出 $X(\omega)= \pi[\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_o)]$

所以如果改变限制会影响答案吗？

1个回答

是的，它会影响答案。您的建议被称为短时傅里叶变换。在您提出的正弦曲线情况下，您将观察到频谱泄漏，因为积分限制的截断等效于正弦曲线乘以矩形窗函数。时域中的这种乘法映射到频域中的卷积。矩形窗口的傅里叶变换是一个 sinc 函数，因此卷积将产生两个 sinc 函数，中心位于原始答案中的脉冲位置。

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