正如您在编辑中指出的那样，平均这些值并不适合此类问题。一个简单的替代方法是使用线性最小二乘拟合将一条线简单地拟合到四相测量值。这应该比单点方法表现更好。

一个可能更好的解决方案是将正弦曲线拟合到四个复杂样本。这可以防止您必须先计算它们的相位角，这可能会导致低 SNR 下的性能下降。

此外，为了实现将复数相位乘以 3 的原始目标，您可以通过简单地将每个数字取三次方来实现：

$$\arg(x^3) = 3 \arg(x)$$

这显然也会影响每个样本的大小，但如果您只关心相位，您通常可以解决这个问题。但是，通过这样做，您将限制估计器将处理的时间偏移范围。将复数的相位乘以 3 将在输出中引入相位模糊度（即，您将无法检测到的相位偏移）。这类似于您在 PSK 同步系统（如 Costas 循环）中经常看到的恒定相位模糊。$2\pi/3$$2\pi/3$

接近方向的常用方法是转向（复杂）矢量方法。

例如，如果您的观察是周期性的，周期为次观察的平均值可以根据上述链接的方程 (1) 找到： 将上周期性，执行单位向量复数和，获取复数和的参数（角度），最后重新缩放到。$P$$N$$\hat\alpha(n)$

$$\hat{\mu}_P = \frac{P}{2\pi} \left[ \arg \left ( \sum_{n=0}^{N-1} e^{j2\pi\hat\alpha(n)/P} \right) \right ]_{2\pi}$$ $\hat\alpha$$2\pi$$[0,P)$

可以使用类似的方法来获得“循环样本方差”。

我会将域从更改为并处理以为模的所有内容。然后你不需要处理负角。$[-\pi:+\pi)$$[0:2\pi)$$2\pi$

或者正如约翰所提到的，对所有需要实际角度的地方都使用复数。

这是我过去用来找到“平均角度”的快速技巧。它有点笨拙，并且使用了比我想要的更多的幻数，但至少它快速高效，并且没有简单算术平均所带来的灾难性故障。

// median_average: find the "average angle" from some set of angles.
// pick A and B "well separated" from each other and from 0 --
// perhaps A =~= 2pi/3 and B =~= 4pi/3
average0 = (average{ (angles .- 0) mod 2pi } + 0) mod 2pi
averageA = (average{ (angles .- A) mod 2pi } + A) mod 2pi
averageB = (average{ (angles .- B) mod 2pi } + B) mod 2pi
average = median ( average0, averageA, averageB )

我通常以“brad”表示形式存储角度，因此“mod 2pi”操作是一个快速的“bitand MASK”。

我有证据表明，对于相距小于 2pi/3 的任何 2 个角度，3 个中间平均值的中位数总是给出“正确”平均值；5 个中间平均值的中位数总是给出任何 2 个小于 4pi/5 的角度的“正确”平均值，等等。

每当这个“median_average”算法对“相距不太远”的 2 个角度进行平均时，3 个中间简单平均值中最多 1 个给出灾难性错误值（5 个中间平均值中最多 2 个）。（正如您已经提到的，在尝试平均 0.1 和 2pi-0.1 时，“average0”值是完全错误的）。然后最终的 median() 抛出“错误”值（如果有的话）并返回 2 个正确平均值之一。

（您是否考虑过时序偏移如此糟糕以至于相位偏移穿过 +pi 线并“环绕”到 -pi 的可能性？也许您很幸运，这在您的系统中从未发生过）。