传递给负载的功率来自焦耳热效应：

\begin{方程} P=\dfrac{\Big(\dfrac{R_L}{R_L + 50}G\,V_{IN}\Big)^{2}}{R_L} \end{方程}

因此，从微积分中我们知道，当我们将函数微分并等于零时，它会达到其最大值或最小值。在这种情况下，我们将有一个最大值，因此：

\begin{方程} \dfrac{dP}{dR_L} = (G\,V_{IN})^2 \dfrac{((R_L+50)^2 - 2\cdot R_L\cdot(R_L + 50))} {(R_L+50)^4} \end{方程}

最后通过使\$ \dfrac{dP}{dR_L} = 0 \$我们只需要关心分子，因为分母不会使方程从任何实数值为零。因此我们有：

\begin{方程} (R_L+50)^2 - 2\cdot R_L\cdot(R_L + 50) = 0 \implies \, (R_L)^{2} = 2500 \implies R_L = 50\,\Omega \end {方程}

直观地说：当您提高负载电阻时，您会增加其电压（以及功率）相对于其他电阻的份额；但是您正在降低总电流（从而降低功率）。当您降低负载电阻时，您正在降低其电压份额（从而降低功率）；但是您正在增加总电流（从而增加功率）。

因此，功率向上或向下的方向取决于哪个效果更强。碰巧的是，它们在 50 欧姆处交叉（即，当负载电阻等于源电阻时。）

通常，当电阻相等时，总是会发生具有串联和负载电阻的负载的最大功率传输。在设计天线或传输线的任何东西时，使用此规则作为捷径。

解决这个问题的另一种方法，不涉及实际进行任何差异化。

令\$R_S\$为源电阻，\$R_L\$为负载电阻，\$V_{RL}\$为负载两端的电压，\$V_{RS}\$为负载两端的电压源电阻，\$P_{RL}\$是传递给负载电阻的功率，\$I\$是电流。\$G\,V_{IN}\$和\$R_S\$不在我们的控制范围内。我们控制\$R_L\$并且目标是最大化\$P_{RL}\$。

$$G\,V_{IN} = V_{RS} + V_{RL}$$

$$P_{RL} = IV_{RL} = \frac{V_{RS}}{R_S}{V_{RL}}= \frac{V_{RS}V_{RL}}{R_S}$$

所以为了最大化负载的功率，我们需要最大化\$V_{RS}V_{RL}\$，因为这是一个二次方程，它只有一个转折点，并且通过对称性，转折点必须在\$V_{ RS} = V_{RL}\$，这反过来意味着\$R_S=R_L\$。