我认为主要问题是你超越了自己。你可能记得或在某处读到过傅里叶变换$rect$函数是一个$sinc$功能。这是真的; 但是，他在本节中没有提到傅立叶变换！事实上，他所做的并不是傅立叶变换。

他在本节中所做的是将任何周期函数表示为傅里叶级数：

(1) $f(\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=0}^\infty{(a_k \cos k\theta + b_k \sin k\theta)}$

这里的关键是这个函数不包含每个频率。它包含频率 0（直流）和$\frac{k}{2\pi}$在哪里$k=1,2,3,...\infty$. 这实际上非常重要。这个函数总是周期性的，周期为$2\pi$. 系数$a_k$和$b_k$几乎是傅立叶变换的采样值（但不完全是，为什么？家庭作业！：p）。你有很多这些系数。在本书的后面，您将了解到，当您在一个空间（频率或时间）中采样数据时，它必然会使另一个空间（时间或频率）中的计数器部分具有周期性。

在第一种情况下，他进行了 Lanczos 平滑推导，通过在函数中运行一个矩形窗口（与 rect 卷积）来平均函数。他所展示的是，毫不奇怪，系数乘以这个项：

(2) $\frac{\sin k\pi/N}{k\pi N}$

当然，这对你来说应该很熟悉，因为它是$sinc$功能。但是，您缺少的是$k$是离散的！它实际上是一个采样版本$sinc$功能。

实际上，他将函数与$rect$并表明所得傅立叶级数的系数（松散地读作：采样傅立叶变换）是采样的$sinc$功能。那里并不奇怪。Convolution thm 表示时间上的卷积变成了频率上的乘法。傅里叶变换，你知道的，$rect$是$sinc$, 所以卷积由$rect$是乘以$sinc$在频率空间。

在下一节中，他做了一些不同的事情。他采用傅里叶级数（阅读：采样傅里叶变换）并删除所有较高频率的系数。实际上，他是在进行傅里叶变换，乘以一个$rect$，然后对其进行采样。为简单起见，他将所有没有被丢弃的傅里叶系数设置为$1$.

他剩下的是这样的：

(3) $h(\theta)=\frac{sin(N+1/2)\theta}{sin(\theta/2)}$

你问，为什么这不是一个$sinc$功能？你现在能回答吗？

快速的答案是因为在频域中应用的不仅仅是截断，它是截断和采样算子。您所知道的是，当您在频域中截断（即乘以矩形）时，时域会与$sinc$（通过卷积 thm 和傅里叶变换$rect$)，但这是没有采样的。

至于为什么公式看起来像它的样子，有两种看待它的方法。他展示的第一个是你可以将傅里叶级数相加$-N$到$N$，这就是你得到的。

第二个，更深刻，可能会在以后出现，是（*）当你在一个空间（比如频率）中对一个函数进行采样时，另一个空间（比如时间）中的相应函数变成了它自身的移位版本的总和. 事实上，它可能不会完全像那样出现。典型情况是采样时域在频域中创建周期性复制（顺便说一句：这就是人们所说的混叠的原因）。但是，您可以应用傅里叶变换的对偶属性来获得 (*)。

等式（3）现在有意义吗？它是周期性的。越接近 0 越像$sinc$功能。

因此，您的练习是通过在频率空间中采样和截断并应用逆变换来导出等式（3）。