信息处理 - 计算信号的平均功率 - 吾爱随笔录

计算信号的平均功率

信息处理功率谱密度信号功率

2022-02-08 10:54:23

我们有这个信号：

x (t) = 2 + 2 \cos (2 π f_{0} t) + \frac{2}{T_{0}} sinc (\frac{2 t}{T_{0}}) e^{j 2 π 4 / T_{0}} + sinc (\frac{2 t}{T_{0}}) e^{- j 2 π 4 / T_{0}} .

$x(t)= 2 + 2\cos(2\pi f_0 t) + \frac{2}{T_0} \operatorname{sinc}\left(\frac{2 t}{T_0}\right)e^{j2 \pi 4/ T_0} + \operatorname{sinc}\left(\frac{2 t}{T_0}\right)e^{-j2 \pi 4/ T_0}.$

我计算了傅里叶变换并发现：

X (f) = δ (f) + δ (f - f_{0}) + δ (f + f_{0}) + rect (\frac{f - \frac{4}{T_{0}}}{\frac{2}{T_{0}}}) + rect (\frac{f + \frac{4}{T_{0}}}{\frac{2}{T_{0}}}))

$X(f)=\delta(f)+ \delta(f-f_0) + \delta(f+f_0) + \operatorname{rect}\left(\frac{f-\frac 4{T_0}}{\frac 2{T_0}}\right) + \operatorname{rect}\left(\frac{f+\frac 4{T_0}}{\frac 2{T_0}})\right)$

我必须找到平均功率。如果使用 Parseval 有：

\begin{aligned} P_{x} & = \frac{1}{T_{0}} \int_{- \infty}^{\infty} | X (f) |^{2} d f \\ = \frac{1}{T_{0}} (\int | δ (f) + δ (f + f_{0}) + δ (f - f_{0}) + rect + rect |^{2} d f) . \end{aligned}

$\begin{align} P_x&=\frac{1}{T_0} \int_{-\infty}^{\infty}\lvert X(f)\rvert^2df \\ &= \frac 1{T_0}\left(\int\lvert\delta(f)+\delta(f+f_0)+\delta(f−f_0)+\operatorname{rect}+\operatorname{rect}\rvert^2df\right). \end{align}$ 我该如何解决这个问题？

1个回答

一个信号要么具有有限的能量，要么具有有限的功率，甚至是无限的功率。根据您的定义，如果能量有限，则平均功率为零

P_{x} = lim_{T_{0} \to \infty} \frac{1}{T_{0}} \int_{- \frac{T_{0}}{2}}^{\frac{T_{0}}{2}} | x (t) |^{2} d t .

$P_x=\lim_{T_0\rightarrow\infty}\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}}|x(t)|^2dt.$

知道 sincs 和 cos 函数相互正交，平均功率由下式给出

P_{x} = P (2) + P (2 \cos (2 π f_{0} t)) + P (sinc)

$P_x=P(2)+P(2\cos(2\pi f_0t))+P(\operatorname{sinc})$

其中是括号中分量的幂。sinc 函数具有有限的能量，因此它的平均功率为零。因此，我们有 $P(...)$

P_{x} = P (2) + P (2 \cos (2 π f_{0} t)

$P_x=P(2)+P(2\cos(2\pi f_0 t)$ 其中且

P (2) = 4

$P(2)=4$

P (2 \cos (2 π f_{0} t) = 2^{2} \cdot \frac{1}{2} = 2.

$P(2\cos(2\pi f_0 t)=2^2\cdot\frac{1}{2}=2.$

因此，总功率由下式给出

P_{x} = 6.

$P_x=6.$

对于的计算，考虑 $\cos$

P_{\cos} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} \cos^{2} (2 π t / T) d t = \frac{1}{2}

$P_{\cos}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos^2(2\pi t/T)dt=\frac{1}{2}$

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