让我们看看极点位置和相应的收敛区域 (ROC)$\mathcal{Z}$-输入和输出信号的变换：

1. $X(z)$: 极点$z=\frac12$和$z=2$与中华民国$\frac12<|z|<2$（双面）。
2. $Y(z)$: 极点$z=\frac12$和$z=\frac34$与中华民国$|z|>\frac34$（因果）。

现在我们知道两个相乘的 ROC$\mathcal{Z}$-transforms 等于个人 ROC 的交集$\mathcal{Z}$-变换，除非存在零极点抵消，在这种情况下，生成的 ROC 可能大于交点。

$H(z)$有一个零$z=2$和一根杆子$z=\frac34$. 由于零取消了极点$X(z)$, 限制$|z|<2$为中华民国$Y(z)$已移除。理论上可能的两种 ROC$H(z)$是$|z|<\frac34$，对应于一个反因果且不稳定的系统，并且$|z|>\frac34$，对应于一个因果稳定的系统。在第一种情况下，中华民国$Y(z)$需要是$\frac12<|z|<\frac34$，情况并非如此，这将对应于两侧不稳定的信号。$^1$因此，中华民国$H(z)$一定是$|z|>\frac34$，这意味着系统描述为$H(z)$是因果且稳定的。