所以我目前有一个适合非常短时间测量的系统。然而，只要测量时间较长，就需要不断更新参考，每次都会在信号上产生小的阶跃函数噪声。该问题在以下段落中进行了解释，但总而言之，我要去除的噪声由一系列阶跃函数组成，我确切知道何时发生，但不知道幅度。

作为参考，请参见以下图片。

每当我们更新它时，我们都会累积任何先前的错误。如果我们打电话$\hat{s_{xy}}$在时刻 y 的测量，相对于在时刻 x 采取的一些参考，在时刻 0 开始测量并在时刻 3 停止，在 2 上进行更新将表示以下内容

从现在开始，术语$n_{02$将始终以阶跃函数的形式污染信号，并将作为 1/f 噪声传播。（见图3）

因此，实际测量结果如下所示：

显然，我们确切地知道信号何时更新，并且我们可以以某种方式控制它（更新更多或更少，并进行一些权衡）。问题是是否有任何方法通过后处理来估计阶跃函数噪声（如下图所示），只使用真正的获取和更新发生时间的知识。（在给定的代码中，这将是 sig_total 和 refUpdates）。

理想情况下，我们希望能够仅使用这些信息来做到这一点。

此处介绍的基本模拟的 Matlab 代码：

nsamp = 1000; %number of samples
t = 1:nsamp;
[s,sraw,nraw,sig_total,noise_update,refUpdates] = simulate1fnoise(nsamp,4,0.01,0.85);


refUpdates(refUpdates == 0) = NaN;
figure, subplot(1,2,1), plot(t,sraw,t,s(1,:),'r'), 
        title('Signal with only additive noise, no updates'),
        xlabel('time')
        legend({'ideal measurement (short measurements)','physical signal'})
             subplot(1,2,2), loglog(t./nsamp,abs(fft(sraw))),
        xlim([0,0.5]),
        xlabel('frequency')

figure,subplot(1,2,1),plot(t,noise_update),       title('Update noise')
        hold on, stem(refUpdates.*noise_update),
        xlabel('time'), 
        subplot(1,2,2), loglog(t./nsamp,abs(fft(noise_update))),
        xlim([0,0.5]),
        xlabel('frequency')

figure,subplot(1,2,1)
        plot(t,sig_total',t,sraw,t,noise_update,'r'),       title('Measured signal'), xlabel('time')
        legend({'real measurement', 'ideal measurement (short measurements)','noise due to updates'})
        subplot(1,2,2), loglog(t./nsamp,abs(fft(sig_total))),xlim([0,0.5]),xlabel('frequency'), hold on
        loglog(t./nsamp,abs(fft(sraw))),xlim([0,0.5]),xlabel('frequency')



function [signal,acquisition_noUpdates,noise,acquisition,noise_update,refUpdates] = simulate1fnoise(nsamp,amp,freq,probabilityUpdate)
% nsamp -> number of samples
% amp   -> perturbation amplitude
% freq   -> frequency of perturbation
% probabilityUpdate -> starting probability of no update, decreases 5%
%                       every time it does not update
%
% Outputs: signal -> physical signal we want to measure
%          acquisition_noUpdates -> measurement in the case of no updates
%                                  (ideal case)
%          noise -> additive, unavoidable noise
%          acquisition -> data obtained from a typical measurement (with
%                         updates)
%          noise_update -> noise due to the updates (essentially, what we
%                          would want to find out from acqusition and refUpdates)
%          refUpdates   -> Vector signaling when there was an update.

nWindows =1;
t = 1:nsamp;
signal = amp*sin(2*pi*freq*t).*[zeros(1,250) hamming(nsamp-500)' zeros(1,250)] ;
noise = randn(nWindows,nsamp);
acquisition_noUpdates = signal + noise; % isto e o que se mediria sem actualizar a referencia

noise_update = zeros(nWindows,nsamp); % isto e o ruido resultante das actualizaçoes de referencia                           % (isto e o que queremos descobrir)
acquisition = zeros(nWindows,nsamp); % isto e o ruido que medimos com updates de referencia

refUpdates = zeros(nWindows,nsamp);

for wnd = 1:nWindows
    updateError = 0;
    countNoUpdates = -1;
    for idx = 1:nsamp
        countNoUpdates = countNoUpdates+1;
        acquisition(wnd,idx) = acquisition_noUpdates(wnd,idx) + updateError;
        noise_update(wnd,idx) = updateError;
        if rand > probabilityUpdate-(countNoUpdates*0.05)
            refUpdates(wnd,idx) = 1;
            updateError = updateError+noise(wnd,idx);
            countNoUpdates = 0;
        end
    end
end

end

编辑：补充一点，我尝试过的一些事情已经包括微分和中值滤波（然后对信号进行积分），在存在如此低的信噪比的情况下，这并没有多大用处。我也尝试过这种仅限于更新点的方法，但特定情况下的更新密度非常高（这是最坏的情况。在现实生活中，更新可能更不频繁。）

编辑我也一直在尝试使用多个传感器做一些事情。这意味着，具有多个冗余信号，其中更新（阶跃函数）不一定在同一时间。但是，即使在那种情况下，我也无法纠正我的信号。这并不理想，因为它意味着传感器冗余，但如果它是唯一可能的解决方案，那就是一个足够好的折衷方案。目前，我试图用未更新的传感器测量值的平均值来平均有更新的点，但由于某种原因，它最终比简单地平均实际情况下的信号更糟糕，这并不好足够。如果有人感兴趣，我可以发布一些模拟。在这种情况下（假设 5 个传感器，测量相同的信号，具有独立更新），结果将如下所示。显然，我可以平均它们。

编辑正如 Peter K. 所建议的那样，我尝试使用递归 DC 阻断器。虽然它确实通过衰减极低频分量在视觉上改善了信号，但它似乎也对信号幅度产生了相当大的影响。我在帖子中没有提到的一点是，我们可能对更低频率的信号或更高频率、更小的幅度感兴趣。因此，通常假设信号的频率信息的 FIR 或 IIR 的常规滤波并不是我想要的。相反，我正在考虑以一种比简单平均更有效的方式探索导致 1/f 噪声的瞬时知识，以及潜在的测量冗余以减少带内噪声。

这些结果是使用下页中提供的滤波器获得的，R 常数为 0.95：DC Blocker

生成类似数据的代码：代码

编辑 好吧，我有这个想法，但也许我需要一些帮助来进一步开发它。捎带 Peter K. 使用 DC 阻断器的想法，我想也许我可以只将它应用到更新点。这样，希望我能最大限度地减少信号的衰减。

for p = 1:(nsamp-1)
    for wnd = 1:nWindows
        if refUpdates(wnd,p) == 1
                expectedval = corrected_measurement(wnd,p+1) - corrected_measurement(wnd,p) + R*corrected_measurement(wnd,p);              
            error = expectedval-corrected_measurement(wnd,p+1);

            corrected_measurement(wnd,p+1:end) = corrected_measurement(wnd,p+1:end)+error;

同时，我正在尝试一些可能更具适应性的东西，因为这是一个递归过滤器。例如，如果我对每个样本都有一系列连续更新（最坏的情况），那么强烈使用 DC 阻断器可能是个坏主意，因为它会吞噬信号。所以我认为 R 可能取决于自上一步以来的样本数量。（比方说，如果最后一步是在前一个样本上，则 R 从 1 开始，然后每个样本减少 0.01）。

现在，它似乎确实有所改善，但确实会影响信号。然而，在 10 个冗余传感器的情况下，平均时似乎有相当大的改进。关于这一点，我尝试的另一件事是在 DC 阻断器过滤器中使用该术语乘以 R每个传感器相互校正）。我不确定我的实现有多好，或者这些假设是否根本不聪明，但我得到了以下结果。

请记住，这些来自更冗长的模拟，用于更现实的方法（1khz 采样率，10 秒采集，1 Hz 扰动）

到目前为止，这种使用其他传感器冗余信息来纠正“更新”阶跃噪声的想法似乎是避免破坏低频响应的最有希望的解决方案。我想知道是否有任何额外的想法。

编辑

好的，我现在正在研究的是使用 10 个传感器冗余来改进测量。在未更新的传感器处进行平均测量，以及更新后传感器的一小部分点的平均值应该能够进行某种校正。在我看来，假设步长的平均水平的估计是完美的（它不会是完美的），那么具有 9 个良好传感器测量的平均值将产生一个幅度误差$\sqrt{9}=3$小倍。平均应该不是一个大问题，因为我们非常过采样（1kHz 采样，对高达 20hz 的扰动感兴趣），尽管在补偿上会有一些依赖于信号的偏差。我想知道这种方法是否还有其他缺点。模拟时，在某些情况下似乎取得了很小的改进，而在其他情况下则没有任何改进，所以我根本不相信这种方法。