信息处理 - 压缩感知和稀疏性 - 吾爱随笔录

压缩感知和稀疏性

信息处理压缩传感

2022-02-07 13:51:41

好的，首先我想让您知道，我最初没有任何正式的信号处理知识，因此如果您认为我是初学者，我将不胜感激。特别是在这个项目中，我必须处理压缩感知（CS）的方法。正如你们中的一些人可能知道的那样，CS 在某些基础上依赖于信号的稀疏性。

我的第一个问题是，当参考文献提到“小波”而没有说明所参考的小波类型时，什么是足够常见的小波类型，以至于这个参考文献没有提到它，如果有的话？

其次，CS 中的主要矩阵方程是 } 其中测量样本，测量矩阵，表示基矩阵，是我们要求解的基中的扩展系数。好的，到目前为止，我希望我在解释这个等式时没有犯任何错误。

\begin{aligned} y & = Φ Ψ s \\ ⇕ \\ y & = Φ x, x = Ψ s \end{aligned}

$\begin{align} y &= \Phi \Psi s\\ \Updownarrow\\ y &= \Phi x,\quad x = \Psi s \end{align}$

y

$y$

Φ

$\Phi$

Ψ

$\Psi$

s

$s$

{Ψ_{i}}

$\{\Psi_i\}$

我的问题是人们通常如何选择基础？我认为这种基的选择很关键，因为膨胀系数取决于所选的基。 $s$
由于我们希望尽可能稀疏，这是否也意味着我们需要仔细选择最有利的基础？ $s$
如果是这样，我将如何决定正确的选择？我在一些参考资料中读到，它们大多使用小波表示作为基础。

顺便说一下，小波域中展开的数学表达式包含所有可能的碱基指数（小波），即信号是碱基的两个指数（膨胀指数和平移指数）的总和。

我应该如何选择最好将哪些索引对放入矩阵中，例如，如果信号是元素长？在那种情况下，我显然只需要基数和无限可能的相应系数。 $\Psi$ $n$ $n$
如果任何两个不同的碱基总是正交的，我可以随机取任何 $n$

3个回答

就选择正确的字典（基础）而言，有几件事需要考虑。您确实希望您的表示尽可能稀疏，这在很大程度上取决于所选字典。在实践中，人们经常查看特定类型的信号，他们从领域知识中知道在某些字典中是稀疏的（离散小波变换、离散傅里叶变换等）。但是，您还需要字典一起“正常工作” 。这可以通过它们的连贯性来衡量（参见Candès & Wakin，2008 年）。如果您可以随意选择，您可以选择字典 $s$ $x$ $\Psi$ $\Phi$ $\Phi$ $\Psi$ 这给你最稀疏的表示，然后选择与不一致。在实践中通常受到硬件约束的限制，然后您可能必须就稀疏性选择次优的以实现与的不连贯性。 $\Phi$ $\Psi$ $\Phi$ $\Psi$ $\Phi$

另一种方法是字典学习，您可以使用（许多）您正在寻找，例如Aharon, Elad, Bruckstein, 2006。 $x$ $\Psi$

我推荐的最简单的方法是（假设您的数据集很小或者您正在逐帧工作）只需进行转换（wave let/Forier）并计算非零的数量。Matlab 通过使用命令 nnz() 来做到这一点。

你不知道；但是有一些基本属性：有限支持、自相似性和完整性，因为您可以进行越来越精细的分区。这些使您可以得出一般性结论。使用的特定类型的内核取决于您的信号分析目标和信号。
不能给你一个定量的答案，但你可能认为它是优化问题；您希望您使用的分区尽可能地验证“信号”，同时尽可能地拒绝“噪声”/干扰。试着找出这些东西的统计数据，并尝试通过小波处理模拟器运行它们，看看 type1/type2 错误是如何平移的。实际上，您所获得的一切都是可能的。

顺便说一句：在进行上述选择时，请确保在评估中包括处理能力/时间。

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